Se a_{n} e b_{n} são duas sequências convergentes e c é uma constante, mostre que:
se \lim b_{n} \neq 0 então \lim \left(a_{n} / b_{n}\right)=\lim a_{n} / \lim b_{n};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades abaixo estão sendo pegadas do enunciado):
  • a_{n} e b_{n} são sequências convergentes.
  • Existem os limites finitos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = A,\qquad \lim_{n\to\infty} b_{n} = B.
  • Está dada a condição adicional B \neq 0.
O que se pede:
  • Mostrar que, sob essas hipóteses,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_{n}}{\lim_{n\to\infty}b_{n}},
ou seja,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{A}{B}.

Passo 2

Vou lembrar a definição de convergência de sequência (essa é a ferramenta que vou usar em forma explícita):
  • Dizemos que \lim_{n\to\infty} x_{n}=X se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |x_{n}-X|<\varepsilon.
Também uso um fato óbvio que vem da convergência: se \lim_{n\to\infty}x_n=X então a sequência (x_n) é limitada (isto é, existe M tal que |x_n|\le M para todo n suficientemente grande). Vou aplicar essas ideias às sequências a_n e b_n.

Passo 3

Primeiro garanto que os denominadores b_{n} não ficam arbitrariamente próximos de zero para índices grandes. Como \lim_{n\to\infty} b_{n}=B e B\neq 0, tomo \varepsilon_0=\dfrac{|B|}{2}>0. Pela definição de limite existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
|b_{n}-B|<\frac{|B|}{2}.
Dessa desigualdade segue, pela desigualdade triangular reversa,
|b_{n}| \ge |\,|B|-|b_{n}-B|\,| > |B|-\frac{|B|}{2}=\frac{|B|}{2}.
Portanto existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
|b_{n}|>\frac{|B|}{2}.
Isto é importante: a partir de algum índice os b_{n} estão afastados de zero por um limite fixo |B|/2.

Passo 4

Agora calculo a diferença entre o quociente e o candidato a limite \dfrac{A}{B}. Para n\ge N_{1} (onde b_n já está afastado de zero) tenho
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{a_{n}B - A b_{n}}{b_{n}B}\right| = \frac{\left|B(a_{n}-A) - A(b_{n}-B)\right|}{|b_{n}||B|}.
Usando a desigualdade triangular |x-y|\le|x|+|y| no numerador,
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| \le \frac{|B|\,|a_{n}-A| + |A|\,|b_{n}-B|}{|b_{n}|\,|B|}.
Como para n\ge N_{1} vale |b_{n}|>\dfrac{|B|}{2}, substituo essa cota abaixo para obter uma estimativa simples:
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| \le \frac{|B|\,|a_{n}-A| + |A|\,|b_{n}-B|}{\tfrac{|B|}{2}\,|B|} = \frac{2}{|B|}\,|a_{n}-A| \;+\; \frac{2|A|}{|B|^{2}}\,|b_{n}-B|.
Resumo a desigualdade útil (válida para todo n\ge N_{1}):
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| \le M_{1}\,|a_{n}-A| + M_{2}\,|b_{n}-B|,
onde defini \displaystyle M_{1}=\frac{2}{|B|} e \displaystyle M_{2}=\frac{2|A|}{|B|^{2}}.

Passo 5

Agora uso a convergência de a_{n}\to A e b_{n}\to B para fazer os termos do lado direito ficarem pequenos simultaneamente.
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Quero encontrar N tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right|<\varepsilon.
Como a_{n}\to A, existe N_{2} com a propriedade que, para todo n\ge N_{2},
|a_{n}-A|<\frac{\varepsilon}{2M_{1}}.
Como b_{n}\to B, se A\neq 0 existe N_{3} com a propriedade que, para todo n\ge N_{3},
|b_{n}-B|<\frac{\varepsilon}{2M_{2}}.
Se A=0 então M_{2}=0 e o segundo requisito é desnecessário (o segundo termo já é zero).
Escolho então
N=\max\{N_{1},N_{2},N_{3}\} \quad\text{(ou \(N=\max\{N_{1},N_{2}\}\) se \(A=0\)).}
Para todo n\ge N vale a estimativa do Passo 4 e as duas desigualdades de pequenaza, logo
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| \le M_{1}\cdot\frac{\varepsilon}{2M_{1}} + M_{2}\cdot\frac{\varepsilon}{2M_{2}} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isto mostra diretamente, pela definição de limite, que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{A}{B}.

Passo 6

Breve interpretação intuitiva e comentário final (rápido): a ideia foi garantir primeiro que os denominadores b_{n} não se aproximam de zero (isso é possível porque b_n\to B\neq0), e depois usar que tanto a_{n} quanto b_{n} ficam próximos de A e B respectivamente para controlar a diferença do quociente. Outra maneira equivalente de ver isso é notar que já provamos implicitamente que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{b_n}=\dfrac{1}{B} (recíproco de limite não-zero) e então multiplicar limites para obter o resultado; a prova acima é a demonstração direta e elemental dessa propriedade do recíproco.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_{n}}{\lim_{n\to\infty}b_{n}}.

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