Se a_{n} e b_{n} são duas sequências convergentes e c é uma constante, mostre que:
se \lim b_{n} \neq 0 então \lim \left(a_{n} / b_{n}\right)=\lim a_{n} / \lim b_{n};
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades abaixo estão sendo pegadas do enunciado):
a_{n} e b_{n} são sequências convergentes.
Existem os limites finitos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = A,\qquad \lim_{n\to\infty} b_{n} = B.
Vou lembrar a definição de convergência de sequência (essa é a ferramenta que vou usar em forma explícita):
Dizemos que \lim_{n\to\infty} x_{n}=X se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |x_{n}-X|<\varepsilon.
Também uso um fato óbvio que vem da convergência: se \lim_{n\to\infty}x_n=X então a sequência (x_n) é limitada (isto é, existe M tal que |x_n|\le M para todo n suficientemente grande). Vou aplicar essas ideias às sequências a_n e b_n.
Passo 3
Primeiro garanto que os denominadores b_{n} não ficam arbitrariamente próximos de zero para índices grandes. Como \lim_{n\to\infty} b_{n}=B e B\neq 0, tomo \varepsilon_0=\dfrac{|B|}{2}>0. Pela definição de limite existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
|b_{n}-B|<\frac{|B|}{2}.
Dessa desigualdade segue, pela desigualdade triangular reversa,
Isto mostra diretamente, pela definição de limite, que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{A}{B}.
Passo 6
Breve interpretação intuitiva e comentário final (rápido): a ideia foi garantir primeiro que os denominadores b_{n} não se aproximam de zero (isso é possível porque b_n\to B\neq0), e depois usar que tanto a_{n} quanto b_{n} ficam próximos de A e B respectivamente para controlar a diferença do quociente. Outra maneira equivalente de ver isso é notar que já provamos implicitamente que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{b_n}=\dfrac{1}{B} (recíproco de limite não-zero) e então multiplicar limites para obter o resultado; a prova acima é a demonstração direta e elemental dessa propriedade do recíproco.