Suponha que de um total de
varetas cada uma seja quebrada em uma parte longa e em uma curta, As
partes são arrumadas em
pares dos quais novas varetas são formadas. Determine o número de maneiras em que as partes sejam unidas na ordem original.
Passo 1
Então, a gente tem n varetas e cada uma delas foi quebrada em duas partes: uma parte longa e uma parte curta. No total temos 2n pedaços, e vamos agrupá-los em n pares para formar “novas” varetas. A pergunta é: em quantas dessas formas de emparelhar as 2n partes a gente acaba unindo exatamente cada parte longa com a sua parceira curta original e ainda mantendo a ordem (longa-depois-curta)?
Conteúdo: técnicas de contagem em combinatória, em especial o número de emparelhamentos (matchings) de 2n objetos. Vamos usar a fórmula do número total de jeitos de agrupar 2n objetos em n pares e, depois, contar quantos desses emparelhamentos reproduzem precisamente os pares originais.
Conteúdo: técnicas de contagem em combinatória, em especial o número de emparelhamentos (matchings) de 2n objetos. Vamos usar a fórmula do número total de jeitos de agrupar 2n objetos em n pares e, depois, contar quantos desses emparelhamentos reproduzem precisamente os pares originais.
Passo 2
Primeiro, lembra da fórmula geral: o número de maneiras de dividir 2n objetos distintos em n pares (sem ordem dentro do par e sem ordem entre os pares) é
Isso é só para ter ideia do “universo” de emparelhamentos possíveis, mas a pergunta não pede esse total, e sim quantos são “bons” (isto é, aqueles que recuperam exatamente cada par original, com ordem).
Passo 3
Para formar só os emparelhamentos bons, cada parte longa tem de ficar pareada com a sua parte curta original. Como há n varetas originais, temos n pares fixos (L₁–S₁, L₂–S₂, …, Lₙ–Sₙ). Agora, quando a gente forma pares na bagunça, esses pares têm de ser exatamente esses n.
– Dentro de cada par Lᵢ–Sᵢ não há escolha: é esse emparelhamento.
– Além disso, na nossa contagem de pares não distinguimos ordem entre pares, nem ordem dentro de cada par (já que “ordem original” fixa L antes de S).
Logo, o único grau de liberdade seria trocar de lugar os pares entre si, se a ordem entre pares importasse. Mas não importa – estamos só escolhendo o conjunto de pares.
Assim, há exatamente 1 jeito de selecionar os n pares Lᵢ–Sᵢ.
– Dentro de cada par Lᵢ–Sᵢ não há escolha: é esse emparelhamento.
– Além disso, na nossa contagem de pares não distinguimos ordem entre pares, nem ordem dentro de cada par (já que “ordem original” fixa L antes de S).
Logo, o único grau de liberdade seria trocar de lugar os pares entre si, se a ordem entre pares importasse. Mas não importa – estamos só escolhendo o conjunto de pares.
Assim, há exatamente 1 jeito de selecionar os n pares Lᵢ–Sᵢ.
Passo 4
Porém, em muitos enunciados se considera que a gente pode “posicionar” esses n pares em n “slots” diferentes, dando um fator n!. Mas como aqui só pedem o número de formas de unir as partes (sem distinguir em que slot cada par cai), a resposta é
n!×1 = n!
Caso você considerasse que permutar os n pares conta como diferentes, aí seria n!. Se, por outro lado, não considerasse ordem nenhuma, ficaria 1. Mas a interpretação mais comum é que permutar os slots conta, logo:
n!×1 = n!
Caso você considerasse que permutar os n pares conta como diferentes, aí seria n!. Se, por outro lado, não considerasse ordem nenhuma, ficaria 1. Mas a interpretação mais comum é que permutar os slots conta, logo:
Resposta
O número de maneiras de recompor todas as varetas na ordem original é