Se n in N e x neq y, simplifique x^n-y^nx-y.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos ninN e xneq y e queremos simplificar a expressão
x^n-y^nx-y
O conteúdo abordado é a fatoração da diferença de potências ou, equivalentemente, a soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Sabemos pela teoria de fatoração que, para quaisquer a,b, vale
a^n-b^n=(a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r)
Isso mostra como o termo (a-b) “puxa” fora a diferença de potências.

Passo 3

Para entender por que aparece essa soma, podemos usar o chamado efeito telescópio demonstrando que
(x-y)sumk=0^n-1x^k y^n-1-k =sumk=0^n-1x^k+1y^n-1-k-sumk=0^n-1x^k y^n-k =x^n-y^n
Ou seja, a multiplicação do fator (x-y) pela soma resulta exatamente em x^n-y^n.

Passo 4

Portanto, ao dividir x^n-y^n por x-y, obtemos a soma da progressão geométrica de termos x e y.

Resposta

[
\sum_{k=0}{n-1}xk y^{n-1-k}
]

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