n moles de um gás ideal se expandem adiabaticamente a partir de uma temperatura inicial T_{1} até uma final T_{2}. Prove que o trabalho realizado pelo gás é n C_{v}\left(T_{1}-T_{2}\right), onde C_{k} é o calor específico molar a voJume constante (Sugestäo: Use a primeira lei da termodinâmica.)

Passo 1

O enunciado trata de n mols de um gás ideal que sofre uma expansão adiabática, ou seja, sem troca de calor com o meio ( \delta Q=0), indo de uma temperatura inicial T_{1} a uma final T_{2}. Queremos mostrar que o trabalho realizado pelo gás vale
W = n\,C_{v}\,\bigl(T_{1}-T_{2}\bigr),
onde C_{v} é o calor específico molar a volume constante. Vamos usar a primeira lei da termodinâmica e a relação de energia interna para gás ideal.

Passo 2

A primeira lei da termodinâmica diz
\mathrm{d}U = \delta Q - \delta W.
Como a transformação é adiabática, temos \delta Q=0. Logo
\mathrm{d}U = -\,\delta W \quad\Longrightarrow\quad \delta W = -\,\mathrm{d}U.

Passo 3

Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico genérico, a energia interna U depende apenas da temperatura. Em termos diferenciais:
\mathrm{d}U = n\,C_{v}\,\mathrm{d}T.
Substituindo em \delta W = -\,\mathrm{d}U obtemos
\delta W = -\,n\,C_{v}\,\mathrm{d}T.

Passo 4

Para encontrar o trabalho total, integramos \delta W desde o estado inicial ( T=T_{1}) até o final ( T=T_{2}):
W = \int_{\text{inicial}}^{\text{final}} \delta W = -\,n\,C_{v}\,\int_{T_{1}}^{T_{2}} \mathrm{d}T = -\,n\,C_{v}\,\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr) = n\,C_{v}\,\bigl(T_{1}-T_{2}\bigr).

Resposta

W = n\,C_{v}\,\bigl(T_{1}-T_{2}\bigr).

Exercícios relacionados