Uma carga q é distribuída uniformemente ao longo de uma esfera isolante de raio R. Determinar o potencial elétrico para:
(b) na superfície da esfera ( r=R ).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera isolante de raio R com carga total q distribuída uniformemente em seu volume. Precisamos achar o potencial elétrico na superfície, ou seja em r=R. Para isso vamos usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico fora da esfera e depois usar a definição de potencial
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}\,,
com condição de V(\infty)=0.

Passo 2

Para r\ge R, usando uma esfera gaussiana de raio r temos carga total encarcerada igual a q. A Lei de Gauss dá
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{q}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,.

Passo 3

Agora calculamos o potencial em r=R tomando V(\infty)=0:
V(R) \;=\; -\int_{\infty}^{R} E(r)\,dr \;=\; -\int_{\infty}^{R} \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,dr \;=\; \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\,R}\,.

Resposta

V(R) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\,R}\,.

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