n moles de um gás ideal se expandem adiabaticamente a partir de una temperatura inicial T_{1} até uma final T_{2}. Prove que o trabalho realizado pelo gás é n C_{v}\left(T_{1}-T_{2}\right). onde C_{k} é o calor específico molar a volume constante (Sugestão: Use a primeira lei da termodinâmica.)

Passo 1

O enunciado diz que n mols de um gás ideal passam por uma expansão adiabática, indo de uma temperatura inicial T_{1} até uma temperatura final T_{2}. O objetivo é calcular o trabalho W realizado pelo gás. Vamos usar a primeira lei da termodinâmica e a expressão para a variação de energia interna de um gás ideal.

Passo 2

A primeira lei da termodinâmica, para o sistema gás, é
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação de energia interna, Q é o calor trocado com o meio, e W é o trabalho realizado pelo gás.

Passo 3

Como o processo é adiabático, não há troca de calor, isto é, Q=0. Logo,
\Delta U = -\,W
ou, equivalentemente,
W = -\,\Delta U.

Passo 4

Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico, a variação de energia interna depende só da temperatura e vale
\Delta U = n\,C_{v}\,(T_{2} - T_{1}),
onde C_{v} é o calor específico molar a volume constante.

Passo 5

Substituindo \Delta U em W = -\,\Delta U, obtemos
W = -\,\bigl[n\,C_{v}\,(T_{2}-T_{1})\bigr] = n\,C_{v}\,(T_{1}-T_{2}).

Resposta

O trabalho realizado pelo gás na expansão adiabática é
W = n\,C_{v}\,\bigl(T_{1} - T_{2}\bigr).

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