Uma partícula está aprisionada entre paredes rígidas, separadas por uma distância L. (a) Mostre que a probabilidade P de que ela seja encontrada dentro de uma distância L / 3 de uma das paredes é dada por
P=\frac{1}{3}\left(1-\frac{\operatorname{sen}(2 \pi n / 3)}{2 \pi n / 3}\right)
Determine o valor da probabilidade para (b) n=1,\text{(c)} n=2,(d) n =3 \mathrm{e}(e) baseado na física clássica.

Passo 1

O enunciado quer a probabilidade de encontrar uma partícula no poço infinito de 0 até L/3, sabendo que o autovalor é n. A função de onda estacionária normalizada é
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),
e a probabilidade é
P=\int_{0}^{L/3}|\psi_n(x)|^2\,dx.
Vamos usar a identidade
\sin^2\theta=\tfrac{1-\cos(2\theta)}{2}
para fazer a integral.

Passo 2

Começando de
P=\int_{0}^{L/3}\frac{2}{L}\sin^2\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{L/3}\frac{1-\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi x}{L}\bigr)}{2}\,dx,
temos
P=\frac{1}{L}\int_{0}^{L/3}dx\;-\;\frac{1}{L}\int_{0}^{L/3}\cos\!\Bigl(\frac{2n\pi x}{L}\Bigr)dx.
Integrando cada termo:
\frac{1}{L}\int_{0}^{L/3}dx=\frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{L}\int_{0}^{L/3}\cos\!\Bigl(\frac{2n\pi x}{L}\Bigr)dx =\frac{1}{2n\pi}\sin\!\Bigl(\frac{2n\pi}{3}\Bigr).
Logo
P=\frac{1}{3}-\frac{\sin(2n\pi/3)}{2n\pi} =\frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{\sin(2\pi n/3)}{2\pi n/3}\Bigr),
como se pedia.

Passo 3

Para n=1:
\sin(2\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \tfrac{2\pi n}{3}= \tfrac{2\pi}{3}.
P_{n=1}=\frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi/3}\Bigr) \approx\frac{1}{3}\bigl(1-0,414\bigr)\approx0,195.

Passo 4

Para n=2:
\sin(4\pi/3)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \tfrac{2\pi n}{3}= \tfrac{4\pi}{3}.
P_{n=2}=\frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{4\pi/3}\Bigr) \approx\frac{1}{3}\bigl(1+0,207\bigr)\approx0,402.

Passo 5

Para n=3:
\sin(2\pi)=0, logo
P_{n=3}=\frac{1}{3}\Bigl(1-0\Bigr)=\frac{1}{3}\approx0,333.

Passo 6

Na física clássica supondo posição uniformemente distribuída, a probabilidade de estar num intervalo de comprimento L/3 é simplesmente
P_{\rm cl}=\frac{L/3}{L}=\frac{1}{3}\approx0,333.

Resposta

(b) P_{n=1}\approx0,195
(c) P_{n=2}\approx0,402
(d) P_{n=3}=1/3\approx0,333
(e) Na física clássica P_{\rm cl}=1/3\approx0,333

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