n moles de um gás ideal monoatômico estão inicialmente a temperatura T0. A pressão e o volume são lentamente duplicados de tal maneira que o processo é descrito por uma reta no diagrama PV. Calcule em termos de n, R e T0,
Q . Se quisermos definir um calor específico molar para esse processo, qual seria seu valor?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem n mols de um gás ideal monoatômico na temperatura inicial $ T_0 $. A pressão e o volume desse gás são duplicados lentamente, ou seja, o processo forma uma linha reta no diagrama P-V. Nosso objetivo é calcular o calor $ Q $ envolvido nesse processo em termos de $ n $, $ R $ e $ T_0 $. Além disso, queremos encontrar o calor específico molar específico para esse processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna com o calor e o trabalho realizados. Também vamos usar as equações dos gases ideais para relacionar pressão, volume e temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a primeira lei da termodinâmica, que diz:
De
Aqui, $ \Delta U $ é a variação da energia interna, $ Q $ é o calor fornecido ao sistema e $ W $ é o trabalho realizado pelo sistema.
Como o gás é ideal monoatômico, a variação da energia interna depende apenas da variação da temperatura:
De
Onde $ C_V $ é o calor específico molar a volume constante.

Passo 3

Agora, vamos achar o trabalho $ W $ feito pelo gás durante esse processo. O trabalho em um processo P-V é dado por:
W
Como o processo é uma linha reta no diagrama P-V, podemos expressar $ P $ em função de $ V $. Passando de $ (P_0, V_0) $ para $ (2P_0, 2V_0) $, a relação é linear, então:
W = integralV0^2V0 P , dV

Passo 4

Substituindo essa expressão de $ P $ na integral do trabalho:
P
Calculando a integral:
W = integralV0^2V0 P0 ( VV0 ) dV = P0V0 integralV0^2V0 V , dV

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação da energia interna $ \Delta U $. Para isso, precisamos da variação de temperatura $ \Delta T $.
Usando a equação dos gases ideais inicialmente e finalmente:
Inicial:
De
Final:
De
Então, a variação de temperatura é:
P0 V0 = n R T0
Substituindo na expressão da energia interna:
2P0 cdot 2V0 = n R Tf Rightarrow 4P0 V0 = n R Tf
Como para um gás monoatômico, $ C_V = \frac{3}{2} R $, então:
De

Passo 6

Agora, voltando à primeira lei da termodinâmica:
De
Substituindo os valores que encontramos:
Q = 92 P0 V0 + 32 P0 V0 = 6 P0 V0
Mas sabemos que inicialmente $ P_0 V_0 = n R T_0 $, então substituindo:
P0 V0 = n R T0

Passo 7

Finalmente, para achar o calor específico molar $ C $ para esse processo, usamos a definição:
C
Já temos $ Q = 6 n R T_0 $ e $ \Delta T = \frac{3 P_0 V_0}{n R} = 3 T_0 $ (usando $ P_0 V_0 = n R T_0 $).
Então:
Q = n C De

Resposta

O calor $ Q $ trocado durante o processo é:
Q
E o calor específico molar para esse processo é:
Q = 6, n, R, T0

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