Se
é um operador linear nilpotente sobre um espaço vetorial
- dimensional
, então o polinômio característico de
é
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um operador linear nilpotente em um espaço vetorial de dimensão
e pede para mostrar que o polinômio característico de
é
. Vamos usar a definição de polinômio característico, a propriedade de nilpotência e o fato de que, quando o polinômio mínimo de um operador se divide em fatores lineares, ele é triangularizável.
Passo 2
Como
é nilpotente, existe um inteiro
tal que
Isso implica que o polinômio mínimo
de
divide
. Logo, todas as raízes de
são
, e portanto
para algum
.
Passo 3
O teorema de triangularização diz que, se o polinômio mínimo de um operador se decompõe em fatores lineares no corpo de escalares, então existe uma base de
em que a matriz de
é triangular superior, com os elementos da diagonal principal iguais às raízes do polinômio mínimo. Aqui,
tem única raiz
, de multiplicidade
, logo em tal base a matriz de
é triangular superior com todos os
elementos diagonais iguais a
.
Passo 4
Na base triangularizante, a matriz de
também é triangular superior, com entradas diagonais todas iguais a
. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Portanto,
Isso mostra que o polinômio característico de
é de fato
.
Resposta
O polinômio característico de
é