Se N é um operador linear nilpotente sobre um espaço vetorial n - dimensional V, então o polinômio característico de N é x^n.

Passo 1

O enunciado afirma que Ncolon Vto V é um operador linear nilpotente em um espaço vetorial de dimensão n e pede para mostrar que o polinômio característico de N é x^n. Vamos usar a definição de polinômio característico, a propriedade de nilpotência e o fato de que, quando o polinômio mínimo de um operador se divide em fatores lineares, ele é triangularizável.

Passo 2

Como N é nilpotente, existe um inteiro r<= n tal que
N^r = 0
Isso implica que o polinômio mínimo mN(x) de N divide x^r. Logo, todas as raízes de mN(x) são 0, e portanto
mN(x)=x^s
para algum s<= r.

Passo 3

O teorema de triangularização diz que, se o polinômio mínimo de um operador se decompõe em fatores lineares no corpo de escalares, então existe uma base de V em que a matriz de N é triangular superior, com os elementos da diagonal principal iguais às raízes do polinômio mínimo. Aqui, mN(x)=x^s tem única raiz 0, de multiplicidade s, logo em tal base a matriz de N é triangular superior com todos os n elementos diagonais iguais a 0.

Passo 4

Na base triangularizante, a matriz de xI - N também é triangular superior, com entradas diagonais todas iguais a x-0=x. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Portanto,
detl(xI - Nr)=xcdot xcdots x = x^n
Isso mostra que o polinômio característico de N é de fato x^n.

Resposta

O polinômio característico de N é
chiN(x)=x^n

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