Sejam e pertencentes a .
Para que valores de a função é um produto interno no ?
Passo 1
O enunciado define uma aplicação bilinear
O conteúdo é formas bilineares simétricas e critério de positividade para produtos internos. Precisamos achar os valores de que tornam um produto interno em .
Passo 2
Escrevemos na forma matricial
onde
Passo 3
Uma forma bilinear simétrica é produto interno se, e só se, a matriz associada for definida positiva. Para isso basta verificar que todos os menores principais são positivos.
Passo 4
O primeiro menor principal é
a11=1>0,
que já satisfaz a primeira condição.
Passo 5
O segundo menor principal é o determinante de A:
det(A)=1cdot k - (-3)cdot(-3)=k-9
Para positividade precisamos de
k-9>0;Longrightarrow;k>9
Resposta
A função f é um produto interno em R^2 exatamente para k>9.