Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) pertencentes a R^2.
Para que valores de k a função f é um produto interno no R^2 ?
f(u, v)=x1 y1-3 x1 y2-3 x2 y1+k x2 y2

Passo 1

O enunciado define uma aplicação bilinear
fcolon R^2timesR^2toR, fl((x1,x2),(y1,y2)r)=x1y1-3x1y2-3x2y1+kx2y2
O conteúdo é formas bilineares simétricas e critério de positividade para produtos internos. Precisamos achar os valores de k que tornam f um produto interno em R^2.

Passo 2

Escrevemos f na forma matricial
f(u,v)=u^TAv,
onde
A = 1 & -3 -3 & k

Passo 3

Uma forma bilinear simétrica é produto interno se, e só se, a matriz associada for definida positiva. Para isso basta verificar que todos os menores principais são positivos.

Passo 4

O primeiro menor principal é
a11=1>0,
que já satisfaz a primeira condição.

Passo 5

O segundo menor principal é o determinante de A:
det(A)=1cdot k - (-3)cdot(-3)=k-9
Para positividade precisamos de
k-9>0;Longrightarrow;k>9

Resposta

A função f é um produto interno em R^2 exatamente para k>9.

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