Questão 15: Considere a matriz
formada pelos autovetores da matriz
acima identificada. O que você pode dizer sobre os quatro espaços fundamentais da matriz
? Isto é, caracterize todos os quatro espaços fundamentais com suas dimensões.
Solução: Como A possui 2 autovalores diferentes, seus autovetores são ortogonais. Logo,
. Por consequência,
. Pela simetria, temos que
e
.
Passo 1
O enunciado considera uma matriz real
de ordem
que possui dois autovalores distintos e não nulos, e o conjunto
formado pelos autovetores correspondentes. Pedem para caracterizar os quatro espaços fundamentais de
: o espaço coluna
, o núcleo
, o espaço linha
e o núcleo à esquerda
, bem como suas dimensões.
Passo 2
Como
tem dois autovalores distintos e nenhum deles é zero, seus autovetores
são linearmente independentes e formam uma base de
. Então
e, pelo teorema do posto e da nulidade,
Passo 3
O espaço coluna de
é justamente o span dos autovetores:
Passo 4
Como
, o núcleo de
é apenas o vetor nulo:
Passo 5
Além disso,
é simétrica (
), logo
e
Resposta
C(A) = \mathbb{R}^{2}, \quad \dim C(A) = 2
N(A) = {0}, \quad \dim N(A) = 0
C(A^{T}) = \mathbb{R}^{2}, \quad \dim C(A^{T}) = 2
N(A^{T}) = {0}, \quad \dim N(A^{T}) = 0
N(A) = {0}, \quad \dim N(A) = 0
C(A^{T}) = \mathbb{R}^{2}, \quad \dim C(A^{T}) = 2
N(A^{T}) = {0}, \quad \dim N(A^{T}) = 0