Questão 15: Considere a matriz V formada pelos autovetores da matriz A acima identificada. O que você pode dizer sobre os quatro espaços fundamentais da matriz A ? Isto é, caracterize todos os quatro espaços fundamentais com suas dimensões.
Solução: Como A possui 2 autovalores diferentes, seus autovetores são ortogonais. Logo, C(A)=spanv1, v2=R^2. Por consequência, N(A)=0. Pela simetria, temos que C(A^T)=C(A) e N(A^T)=N(A).

Passo 1

O enunciado considera uma matriz real A de ordem 2 que possui dois autovalores distintos e não nulos, e o conjunto V=v1,v2 formado pelos autovetores correspondentes. Pedem para caracterizar os quatro espaços fundamentais de A: o espaço coluna C(A), o núcleo N(A), o espaço linha C(A^T) e o núcleo à esquerda N(A^T), bem como suas dimensões.

Passo 2

Como A tem dois autovalores distintos e nenhum deles é zero, seus autovetores v1,v2 são linearmente independentes e formam uma base de R^2. Então rank(A)=2 e, pelo teorema do posto e da nulidade,
dim N(A)=2-dim C(A)=2-2=0

Passo 3

O espaço coluna de A é justamente o span dos autovetores:
C(A)=spanv1,v2=R^2, dim C(A)=2

Passo 4

Como dim N(A)=0, o núcleo de A é apenas o vetor nulo:
N(A)=0, dim N(A)=0

Passo 5

Além disso, A é simétrica ( A^T=A), logo
C(A^T)=C(A)=R^2, dim C(A^T)=2,
e
N(A^T)=N(A)=0, dim N(A^T)=0

Resposta

C(A) = \mathbb{R}^{2}, \quad \dim C(A) = 2
N(A) = {0}, \quad \dim N(A) = 0
C(A^{T}) = \mathbb{R}^{2}, \quad \dim C(A^{T}) = 2
N(A^{T}) = {0}, \quad \dim N(A^{T}) = 0

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