Seja
um operador linear sobre
com polinômio minimal da forma
, sendo
irredutível sobre o corpo dos escalares. Mostrar que existe um vetor
em
tal que o
-anulador de
seja
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
cujo polinômio minimal é
, com
irreduzível sobre o corpo dos escalares. Queremos mostrar que existe
tal que o
-anulador de
seja exatamente
.
Passo 2
Como o polinômio minimal de
é
, o operador
não é o operador zero (caso fosse, o grau do minimal cairia para no máximo
). Portanto
é um subespaço próprio de .
é um subespaço próprio de
Passo 3
Escolha
tal que
.
Então
Então
porque
é o polinômio minimal de
. Logo o menor expoente
para o qual
satisfaz
. Como todo anulador de vetor divide o polinômio minimal
, concluímos que o
-anulador de
é exatamente
.
Resposta
Basta tomar
; seu
-anulador será
.