Seja T um operador linear sobre V com polinômio minimal da forma p^n, sendo p irredutível sobre o corpo dos escalares. Mostrar que existe um vetor alpha em V tal que o T-anulador de alpha seja p^n.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon Vto V cujo polinômio minimal é p^n, com p irreduzível sobre o corpo dos escalares. Queremos mostrar que existe alphain V tal que o T-anulador de alpha seja exatamente p^n.

Passo 2

Como o polinômio minimal de T é p^n, o operador p(T)^,n-1 não é o operador zero (caso fosse, o grau do minimal cairia para no máximo n-1). Portanto
kerl(p(T)^,n-1r)
é um subespaço próprio de V.

Passo 3

Escolha alphain V tal que
alphanotinkerl(p(T)^,n-1r).
Então
p(T)^,n-1alphaneq0 e p(T)^,nalpha=0
porque p^n é o polinômio minimal de T. Logo o menor expoente k para o qual p(T)^kalpha=0 satisfaz k=n. Como todo anulador de vetor divide o polinômio minimal p^n, concluímos que o T-anulador de alpha é exatamente p^n.

Resposta

Basta tomar alphanotinkerl(p(T)^,n-1r); seu T-anulador será p^n.

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