Qual o valor do 9^{\circ} número da sequência definida pela recorrência \{X(0)=1, X(1)=1, X(n)=3 X(n-1)+2 X(n-2)\}

Passo 1

O enunciado define a sequência \{X(n)\} por
X(0)=1,\quad X(1)=1,\quad X(n)=3\,X(n-1)+2\,X(n-2)
e pede o nono termo, isto é X(9). O conteúdo é recorrência linear homogênea de ordem 2 e, como n é pequeno, vamos calcular os termos um a um.

Passo 2

Para cada n\ge2 usamos diretamente
X(n)=3\,X(n-1)+2\,X(n-2),
aplicando a fórmula iterativamente até n=9.

Passo 3

Calculando os primeiros termos após a condição inicial: X(2)=3\cdot X(1)+2\cdot X(0)=3\cdot1+2\cdot1=5, X(3)=3\cdot X(2)+2\cdot X(1)=3\cdot5+2\cdot1=17.

Passo 4

Continuando a iteração: X(4)=3\cdot X(3)+2\cdot X(2)=3\cdot17+2\cdot5=61, X(5)=3\cdot X(4)+2\cdot X(3)=3\cdot61+2\cdot17=217.

Passo 5

Mais adiante: X(6)=3\cdot X(5)+2\cdot X(4)=3\cdot217+2\cdot61=773, X(7)=3\cdot X(6)+2\cdot X(5)=3\cdot773+2\cdot217=2753.

Passo 6

Finalmente os dois últimos termos até n=9: X(8)=3\cdot X(7)+2\cdot X(6)=3\cdot2753+2\cdot773=9805, X(9)=3\cdot X(8)+2\cdot X(7)=3\cdot9805+2\cdot2753=34921.

Resposta

O nono termo da sequência é 34921.

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