\nabla \times(f \vec{F})=f \nabla \times \vec{F}+(\nabla f) \times \vec{F}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de cálculo vetorial
\nabla \times (f\,\mathbf{F}) \;=\; f\,(\nabla \times \mathbf{F}) \;+\; (\nabla f)\times \mathbf{F},
onde f=f(x,y,z) é um campo escalar suave e \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) é um campo vetorial suave. Vamos usar a definição de rotor em componentes e a regra do produto.

Passo 2

Recordando a definição em notação de Levi-Civita, para um campo vetorial \mathbf{G}=(G_{1},G_{2},G_{3}) temos
(\nabla \times \mathbf{G})_{i} = \varepsilon_{ijk}\,\partial_{j}G_{k},
onde \varepsilon_{ijk} é o tensor de Levi-Civita e \partial_{j}=\frac{\partial}{\partial x_{j}}.

Passo 3

Aplique essa definição a \mathbf{G}=f\,\mathbf{F}. Então
(\nabla \times (f\,\mathbf{F}))_{i} = \varepsilon_{ijk}\,\partial_{j}(f\,F_{k}).
Pela regra do produto,
\partial_{j}(f\,F_{k}) = (\partial_{j}f)\,F_{k} \;+\; f\,(\partial_{j}F_{k}).

Passo 4

Substituindo na expressão do rotor:
(\nabla \times (f\,\mathbf{F}))_{i} = \varepsilon_{ijk}\bigl((\partial_{j}f)\,F_{k}\bigr) + \varepsilon_{ijk}\bigl(f\,\partial_{j}F_{k}\bigr).
Agrupando termos, fica
(\nabla \times (f\,\mathbf{F}))_{i} = \underbrace{\varepsilon_{ijk}\,(\partial_{j}f)\,F_{k}}_{((\nabla f)\times \mathbf{F})_{i}} \;+\; \underbrace{f\,\varepsilon_{ijk}\,\partial_{j}F_{k}}_{f\,(\nabla \times \mathbf{F})_{i}}.

Passo 5

Como essa relação vale para cada componente i=1,2,3, concluímos em forma vetorial:
\nabla \times (f\,\mathbf{F}) = (\nabla f)\times \mathbf{F} + f\,(\nabla \times \mathbf{F}).

Resposta

\nabla \times (f\,\mathbf{F}) = f\,(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f)\times \mathbf{F}.

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