Sejam f e g campos escalares e \vec{F} e \vec{G} campos vetoriais. Determine quais das expressões a seguir representam campos vetoriais, quais representam campos escalares e quais não tem sentido.
\nabla \times(\nabla \cdot(\nabla f))

Passo 1

O enunciado pede para classificar a expressão \nabla \times (\nabla \cdot (\nabla f)), em que f é campo escalar, segundo se ela representa um campo escalar, um campo vetorial ou se não tem sentido. Para isso, vamos usar as propriedades dos operadores gradiente, divergência e rotacional.

Passo 2

Primeiro, calculemos \nabla f. Como f é escalar, \nabla f é um campo vetorial.

Passo 3

Em seguida, avalie \nabla \cdot (\nabla f). Essa é a divergência de um campo vetorial, ficando
\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f,
que é um campo escalar (o laplaciano de f).

Passo 4

Por fim, tente aplicar \nabla \times a \nabla^2 f. Mas \nabla \times exige um campo vetorial como argumento, e \nabla^2 f é escalar. Logo, \nabla \times (\nabla^2 f) não faz sentido.

Resposta

A expressão \nabla \times (\nabla \cdot (\nabla f)) não tem sentido.

Exercícios relacionados