Sejam f e g campos escalares e \vec{F} e \vec{G} campos vetoriais. Determine quais das expressões a seguir representam campos vetoriais, quais representam campos escalares e quais não tem sentido.
\nabla \cdot(\nabla \times(\nabla f))

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a expressão
\nabla \cdot\bigl(\nabla \times(\nabla f)\bigr)
como campo escalar, campo vetorial ou sem sentido. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, envolvendo os operadores gradiente ( \nabla f), rotação ( \nabla \times \vec{V}) e divergência ( \nabla\cdot\vec{V}).

Passo 2

Lembramos os tipos de cada operador:
  1. Se f é campo escalar, então \nabla f é um campo vetorial.
  2. Se \vec{V} é campo vetorial, então \nabla \times \vec{V} (rotacional) é um campo vetorial.
  3. Se \vec{V} é campo vetorial, então \nabla\cdot \vec{V} (divergência) é um campo escalar.

Passo 3

Aplicando em cadeia:
  • Primeiro \nabla f é um vetor.
  • Depois \nabla \times(\nabla f) é o rotacional de um vetor, logo é um vetor.
  • Finalmente \nabla \cdot\bigl(\nabla \times(\nabla f)\bigr) é a divergência de um vetor, logo é um escalar.

Passo 4

Além disso, sabemos pela identidade de cálculo vetorial que \nabla \times(\nabla f)=\vec{0}, mas isso só diz que o vetor é o campo zero. Ainda assim a divergência dele é um escalar (nulo).

Resposta

A expressão \nabla \cdot(\nabla \times(\nabla f)) representa um campo escalar.

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