QUESTÃO:

Um avião está voando em velocidade de cruzeiro. Na parte superior da asa de área A=115 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{o} ar escoa com uma velocidade 910 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, enquanto na parte inferior, 1.4 m abaixo, essa velocidade reduz em 10 \%. Considerando que o fluxo de ar nas partes inferior e superior da asa é constante, que as áreas superior e inferior da asa são aproximadamente iguais, que a massa específica do ar em altas altitudes é de \rho=0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e que \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, apresente uma descrição física do fenômeno e determine a força de sustentação F em Newton.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Fazer uma descrição física do fenômeno (por que a asa gera sustentação).
  • Determinar numericamente a força de sustentação F em newtons.
Informações e dados fornecidos (vou listar exatamente o que foi dado no enunciado):
  • Área da asa: A=115\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade do ar na superfície superior da asa: v_{\text{top}}=910\\ \mathrm{m/s}.
  • A 1,4 m abaixo da superfície superior, a velocidade reduz em 10\%. Portanto a distância vertical entre os pontos considerados é \Delta h=1{,}4\\ \mathrm{m} e a velocidade na parte inferior é v_{\text{bottom}}=0{,}9\cdot v_{\text{top}} (vou calcular isso explicitamente mais adiante).
  • Fluxo de ar constante e áreas superior e inferior aproximadamente iguais (isso justifica comparar pressões usando velocidades dadas).
  • Massa específica do ar em altitude: \rho=0{,}5\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2.
Observação importante sobre o enunciado (só identificando): todos os dados acima serão usados tal quais foram dados; se alguma aproximação física (como tratar o ar como incompressível) for necessária, vou explicitar e seguir as hipóteses implícitas no enunciado.

Passo 2

Descrição física resumida (intuição antes de calcular):
Quando o ar passa mais rápido sobre a superfície superior da asa e mais devagar por baixo, a pressão sobre a superfície superior fica menor do que a pressão por baixo. Essa diferença de pressão resultante empurra a asa para cima: é isso que chamamos de sustentação. Para relacionar pressão e velocidade do fluido usamos o princípio de Bernoulli (versão para fluxo estacionário e fluido não viscoso), que liga pressão, energia cinética do fluido e energia potencial gravitacional ao longo de uma linha de corrente.

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos usar (Bernoulli com termo gravitacional):
Para dois pontos (um acima e outro abaixo) com alturas diferentes, a forma útil da equação de Bernoulli é
p_{\text{top}}+\tfrac{1}{2}\rho v_{\text{top}}^{2}+\rho g z_{\text{top}} = p_{\text{bottom}}+\tfrac{1}{2}\rho v_{\text{bottom}}^{2}+\rho g z_{\text{bottom}}.
Aqui:
  • p_{\text{top}} é a pressão no ponto acima (superior da asa).
  • p_{\text{bottom}} é a pressão no ponto abaixo (inferior da asa).
  • \rho é a massa específica do ar.
  • v_{\text{top}}, v_{\text{bottom}} são as velocidades nesses pontos.
  • z_{\text{top}}, z_{\text{bottom}} são as alturas (tomamos z_{\text{top}}-z_{\text{bottom}}=\Delta h).
Rearranjando para a diferença de pressão que gera sustentação:
p_{\text{bottom}}-p_{\text{top}} = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\text{top}}^{2}-v_{\text{bottom}}^{2}\bigr) + \rho g\bigl(z_{\text{top}}-z_{\text{bottom}}\bigr).
Essa diferença de pressão multiplicada pela área dá a força de sustentação:
F = (p_{\text{bottom}}-p_{\text{top}})\,A.

Passo 4

Calcular a velocidade na face inferior usando a redução de 10\%:
v_{\text{bottom}}=0{,}9\cdot v_{\text{top}}=0{,}9\cdot 910\\ \mathrm{m/s}.
Cálculo:
v_{\text{bottom}}=0{,}9\times 910 = 819\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular os quadrados das velocidades (vou mostrar passo a passo para você poder refazer na prova sem calculadora, usando multiplicações básicas):
v_{\text{top}}^{2}=910^{2}=828\,100\\ (\mathrm{m^2/s^2}),
v_{\text{bottom}}^{2}=819^{2}=670\,761\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Diferença:
v_{\text{top}}^{2}-v_{\text{bottom}}^{2}=828\,100-670\,761=157\,339\\ (\mathrm{m^2/s^2}).

Passo 6

Calcular o termo dinâmico da diferença de pressão:
A constante \tfrac{1}{2}\rho vale
\tfrac{1}{2}\rho=\tfrac{1}{2}\times 0{,}5=0{,}25\\ \mathrm{kg/m^3}.
Portanto o termo dinâmico é
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\text{top}}^{2}-v_{\text{bottom}}^{2}\bigr) = 0{,}25\times 157\,339 = 39\,334{,}75\\ \mathrm{Pa}.
(lembrando que 1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{N/m^2}.)

Passo 7

Calcular o termo gravitacional (diferença de pressão devido à diferença de altura de 1{,}4\\ \mathrm{m}):
\rho g \Delta h = 0{,}5\times 9{,}81\times 1{,}4.
Cálculo:
0{,}5\times 9{,}81 = 4{,}905,
4{,}905\times 1{,}4 = 6{,}867\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Somar os dois termos para obter a diferença total de pressão:
\Delta p = p_{\text{bottom}}-p_{\text{top}} = 39\,334{,}75 + 6{,}867 = 39\,341{,}617\\ \mathrm{Pa}.

Passo 9

Calcular a força de sustentação multiplicando \Delta p pela área A:
F = \Delta p \cdot A = 39\,341{,}617\\ \mathrm{Pa}\times 115\\ \mathrm{m^2}.
Cálculo detalhado:
39\,341{,}617\times 100 = 3\,934\,161{,}7,
39\,341{,}617\times 15 = 590\,124{,}255,
F = 3\,934\,161{,}7 + 590\,124{,}255 = 4\,524\,285{,}955\\ \mathrm{N}.
Arredondando com três algarismos significativos:
F \approx 4{,}52\times 10^{6}\\ \mathrm{N}.

Passo 10

Comentário final e observação prática (útil na prova):
  • A resposta foi obtida usando Bernoulli para um fluido incompressível. Na vida real, com velocidades tão altas ( v\sim 900\\ \mathrm{m/s}), o ar se torna compressível e efeitos de ondas de choque aparecem; portanto o resultado numérico aqui é um exercício teórico com as hipóteses do enunciado.
  • Mesmo assim, o procedimento que você deve aplicar na prova, quando as hipóteses de incompressibilidade forem permitidas, é exatamente esse: usar Bernoulli (incluindo o termo \rho g\Delta h se houver diferença de altura entre pontos) para achar \Delta p e depois F=\Delta p\cdot A. Você já decorou a sequência: identificar velocidades, aplicar Bernoulli, calcular \Delta p, multiplicar por A.

Resposta

F \approx 4{,}52\times 10^{6}\\ \mathrm{N}

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