Questão 4 Calcule, caso exista, ou mostre que não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. Para resolver, podemos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem), aproveitando que \sqrt{x^{2}+y^{2}} mede a distância ao ponto (0,0).

Passo 2

Defina
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Então \lvert y\rvert \le r, logo
0 \le \frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{y^{2}}{r} \le \frac{r^{2}}{r} = r.

Passo 3

Como \lim_{(x,y)\to(0,0)} r = 0, pelo Teorema do Confronto temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = 0.

Resposta

0

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