Um naturalista, na selva tropical, deseja capturar um macaco de uma espécie em extinção, dispondo de uma arma carregada com um dardo tranquilizante. No momento em que ambos estão a 45m acima do solo, cada um em uma árvore, o naturalista dispara o dardo. O macaco, astuto, na tentativa de escapar do tiro se solta da árvore. Se a distância entre as árvores é de 60m, a velocidade mínima do dardo, para que o macaco seja atingido no instante em que chega ao solo, vale em m/s:
(Adote g=10m/s)

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um naturalista que quer capturar um macaco usando um dardo tranquilizante. Ambos estão em árvores a 45 metros de altura e as árvores estão separadas por 60 metros. O macaco solta a árvore para escapar e queremos descobrir qual a velocidade mínima que o dardo precisa ter para atingir o macaco exatamente quando ele chega ao chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento uniformemente acelerado e projectil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do macaco. Quando ele solta a árvore, ele está apenas caindo livremente sob a influência da gravidade. A altura inicial é de 45 metros e a aceleração devido à gravidade é $ g = 10 , m/s^2 $. Podemos usar a fórmula da posição para movimento uniformemente acelerado:
g = 10 , m/s^2
Onde:
  • $ h = 45 , m $ é a altura
  • $ g = 10 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade
  • $ t $ é o tempo que o macaco leva para atingir o chão

Passo 3

Vamos resolver para $ t $:
t
45 = 12 times 10 times t^2
45 = 5 t^2
t^2 = 455
t^2 = 9
Então, o macaco leva 3 segundos para chegar ao chão.

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento do dardo. O dardo precisa percorrer os 60 metros horizontalmente e a mesma altura verticalmente de 45 metros, mas ao mesmo tempo que o macaco cai. Isso significa que o dardo também deve levar 3 segundos para atingir o macaco.
Vamos considerar que o dardo é lançado com uma velocidade inicial $ v $ que tem componentes horizontal ($ v_x v v_y $).
Como o dardo precisa percorrer 60 metros em 3 segundos na horizontal:
vx â

Passo 5

Agora, na direção vertical, o dardo também está sujeito à gravidade. Queremos que o dardo alcance a altura de 45 metros em 3 segundos. Usamos novamente a fórmula do movimento uniformemente acelerado, mas agora considerando que o dardo está sendo lançado para cima com uma velocidade inicial $ v_y $:
vy
Substituindo os valores:
h = vy t - 12 g t^2
45 = vy times 3 - 12 times 10 times 3^2
45 = 3 vy - 45
3 vy = 90

Passo 6

Agora, temos as duas componentes da velocidade do dardo:
  • Horizontal: $ v_x = 20 , m/s $
  • Vertical: $ v_y = 30 , m/s $
Para encontrar a velocidade total $ v $ do dardo, usamos o teorema de Pitágoras:
vx = 20 , m/s
vy = 30 , m/s
v
v = raizvx^2 + vy^2
v = raiz20^2 + 30^2

Resposta

A velocidade mínima do dardo é aproximadamente $ 36,06 , m/s $.

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