Sabe-se que o máximo valor da tensão crítica de flambagem para que uma coluna permaneça na região elástica é o próprio limite de escoamento do material de fabricação da coluna. Esta restrição garante que a coluna esteja em uma condição de equilíbrio estável durante sua flambagem. Considere uma coluna com seção circular de diâmetro D=0,25 [m] feita em aço carbono com Módulo de Elasticidade E=200 [GPa] e Limite de Escoamento σE=560 [MPa] e engastada nas duas extremidades. Determine o comprimeinto mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma coluna de aço carbono que precisa permanecer na região elástica para evitar deformações permanentes quando ela sofre flambagem (aquele esquecimento que a coluna dá sob compressão). A matéria que vamos usar aqui é de Flambagem de Colunas, especificamente usando a Teoria de Euler para determinar o comprimento mínimo que essa coluna pode ter sem que comece a deformar de forma permanente. Para resolver, vamos precisar dos seguintes dados:
  • Diâmetro da seção circular da coluna: $ D = 0,25 , m $
  • Módulo de Elasticidade ($ E $): $ 200 , GPa $
  • Limite de Escoamento ($ \sigma_E = 560 , MPa $)
  • Condição de engastamento nas duas extremidades
Nosso objetivo é encontrar o comprimento mínimo dessa coluna para que ela não entre na região plástica durante a flambagem.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a flambagem ocorre quando uma coluna submetida a compressão lateral se deforma. A Teoria de Euler nos dá uma fórmula para a carga crítica de flambagem ($ P_{cr} $) que uma coluna pode suportar antes de flambear. A fórmula é:
Pcr
Onde:
  • $ E $ é o Módulo de Elasticidade
  • $ I $ é o momento de inércia da seção transversal
  • $ K $ é o fator de comprimento efetivo
  • $ L $ é o comprimento da coluna
Como a coluna está engastada nas duas extremidades, o fator $ K $ é igual a 0,5.

Passo 3

Calculando o momento de inércia ($ I $) para uma seção circular, usamos a fórmula:
I
Substituindo o valor do diâmetro $ D = 0,25 , m $:
I = pi D^464

Passo 4

Agora, sabemos que a máxima tensão ($ \sigma_{cr} $) que a coluna pode suportar sem ultrapassar o limite de escoamento é igual ao limite de escoamento:
sigmacr
Onde $ A $ é a área da seção transversal. Primeiro, calculamos $ A $:
sigmacr = PcrA = sigmaE

Passo 5

Igualando $ \sigma_{cr} $ ao limite de escoamento $ \sigma_E $:
sigmacr
Substituindo os valores:
sigmaE

Passo 6

Agora, voltamos à fórmula da carga crítica de Euler para relacionar com o comprimento $ L $:
L
Rearranjando para resolver $ L $:
Pcr = pi^2 E I(K L)^2

Passo 7

Substituindo os valores que já temos:
L = raiz pi^2 times 200 times 10^9 , Pa times 1,9199 times 10^-4 , m^427,496 times 10^6 , N times (0,5)^2
Calculando o denominador:
27,496 times 10^6 , N times 0,25 = 6,874 times 10^6
Agora:
L = raiz pi^2 times 200 times 10^9 times 1,9199 times 10^-4 6,874 times 10^6
Calculando o numerador:
pi^2 times 200 times 10^9 times 1,9199 times 10^-4 approx 3,1416^2 times 200 times 10^9 times 1,9199 times 10^-4 approx 3,1416^2 times 38,398 times 10^5 approx 9,8696 times 38,398 times 10^5 approx 378,82 times 10^5
Divide pelo denominador:
378,82 times 10^56,874 times 10^6 approx 5,506
Agora, tirando a raiz quadrada:
L = raiz5,506 approx 2,347 , m

Resposta

O comprimento mínimo da coluna para que ela permaneça na região elástica é de aproximadamente 2,35 metros.

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