Sabe-se que o máximo valor da tensão crítica de flambagem para que uma coluna permaneça na região elástica é o próprio limite de escoamento do material de fabricação da coluna. Esta restrição garante que a coluna esteja em uma condição de equilíbrio estável durante sua flambagem. Considere uma coluna com seção circular de diâmetro D=0,25 [m] feita em aço carbono com Módulo de Elasticidade E=200 [GPa] e Limite de Escoamento σE=560 [MPa] e engastada nas duas extremidades. Determine o comprimeinto mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma coluna de aço carbono que precisa permanecer na região elástica para evitar deformações permanentes quando ela sofre flambagem (aquele esquecimento que a coluna dá sob compressão). A matéria que vamos usar aqui é de Flambagem de Colunas, especificamente usando a Teoria de Euler para determinar o comprimento mínimo que essa coluna pode ter sem que comece a deformar de forma permanente. Para resolver, vamos precisar dos seguintes dados:
- Diâmetro da seção circular da coluna: $ D = 0,25 , m $
- Módulo de Elasticidade ($ E $): $ 200 , GPa $
- Limite de Escoamento ($ \sigma_E = 560 , MPa $)
- Condição de engastamento nas duas extremidades
Nosso objetivo é encontrar o comprimento mínimo dessa coluna para que ela não entre na região plástica durante a flambagem.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a flambagem ocorre quando uma coluna submetida a compressão lateral se deforma. A Teoria de Euler nos dá uma fórmula para a carga crítica de flambagem ($ P_{cr} $) que uma coluna pode suportar antes de flambear. A fórmula é:
Onde:
- $ E $ é o Módulo de Elasticidade
- $ I $ é o momento de inércia da seção transversal
- $ K $ é o fator de comprimento efetivo
- $ L $ é o comprimento da coluna
Como a coluna está engastada nas duas extremidades, o fator $ K $ é igual a 0,5.
Passo 3
Calculando o momento de inércia ($ I $) para uma seção circular, usamos a fórmula:
Substituindo o valor do diâmetro $ D = 0,25 , m $:
Passo 4
Agora, sabemos que a máxima tensão ($ \sigma_{cr} $) que a coluna pode suportar sem ultrapassar o limite de escoamento é igual ao limite de escoamento:
Onde $ A $ é a área da seção transversal. Primeiro, calculamos $ A $:
Passo 5
Igualando $ \sigma_{cr} $ ao limite de escoamento $ \sigma_E $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, voltamos à fórmula da carga crítica de Euler para relacionar com o comprimento $ L $:
Rearranjando para resolver $ L $:
Passo 7
Substituindo os valores que já temos:
Calculando o denominador:
Agora:
Calculando o numerador:
Divide pelo denominador:
Agora, tirando a raiz quadrada:
Resposta
O comprimento mínimo da coluna para que ela permaneça na região elástica é de aproximadamente 2,35 metros.