Uma nave espacial cujo comprimento em repouso é de 358 m tem uma velocidade de
com relação a um certo referencial. Um micrometeorito, com uma velocidade de
nesse referencial, passa pela nave espacial numa rota antiparalela. Quanto tempo leva para que esse micrometeorito passe pela nave espacial?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma nave espacial que, quando está parada (em repouso), mede 358 metros de comprimento. Ela está se movendo a uma velocidade de
em relação a um referencial fixo. Por outro lado, temos um micrometeorito que está se movendo a
nesse mesmo referencial, mas na direção contrária (antiparalela) à nave. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o micrometeorito leva para passar completamente pela nave espacial.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade restrita, em particular, a contração do comprimento e o cálculo da velocidade relativa entre dois objetos se movendo em direções opostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, devido à relatividade, o comprimento da nave será diferente no referencial em que ela está se movendo. Esse fenômeno é chamado de contração do comprimento e é dado pela fórmula:
Onde:
- $ L $ é o comprimento medido no referencial em movimento,
- $ L_0 $ é o comprimento em repouso,
- $ v $ é a velocidade relativa,
- $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 3
Aplicando a fórmula da contração do comprimento para a nave:
Calculando o valor dentro da raiz:
Então:
Portanto, no referencial fixo, o comprimento da nave é aproximadamente 245,6 metros.
Passo 4
Agora, vamos determinar a velocidade relativa entre a nave e o micrometeorito. Como eles estão se movendo em direções opostas, suas velocidades se somam. Então:
Mas, segundo a teoria da relatividade, a velocidade relativa não pode exceder $ c $. Portanto, precisamos usar a fórmula para a adição de velocidades na relatividade:
Onde:
- $ v_1 = 0,728,c $,
- $ v_2 = 0,817,c $.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula de adição de velocidades:
Então, a velocidade relativa entre a nave e o micrometeorito é aproximadamente
.
Passo 6
Para encontrar o tempo que o micrometeorito leva para passar completamente pela nave, usamos a fórmula:
Onde:
- $ d $ é o comprimento da nave no referencial fixo (
), - $ v $ é a velocidade relativa (
).
Passo 7
Substituindo os valores:
Sabemos que a velocidade da luz $ c $ é aproximadamente
. Então:
Resposta
O micrometeorito leva aproximadamente
segundos para passar completamente pela nave espacial.