Uma nave espacial cujo comprimento em repouso é de 358 m tem uma velocidade de 0,728 c com relação a um certo referencial. Um micrometeorito, com uma velocidade de 0,817 c nesse referencial, passa pela nave espacial numa rota antiparalela. Quanto tempo leva para que esse micrometeorito passe pela nave espacial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma nave espacial que, quando está parada (em repouso), mede 358 metros de comprimento. Ela está se movendo a uma velocidade de 0,728,c em relação a um referencial fixo. Por outro lado, temos um micrometeorito que está se movendo a 0,817,c nesse mesmo referencial, mas na direção contrária (antiparalela) à nave. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o micrometeorito leva para passar completamente pela nave espacial.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade restrita, em particular, a contração do comprimento e o cálculo da velocidade relativa entre dois objetos se movendo em direções opostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, devido à relatividade, o comprimento da nave será diferente no referencial em que ela está se movendo. Esse fenômeno é chamado de contração do comprimento e é dado pela fórmula:
L = L0 raiz1 - v^2c^2
Onde:
  • $ L $ é o comprimento medido no referencial em movimento,
  • $ L_0 $ é o comprimento em repouso,
  • $ v $ é a velocidade relativa,
  • $ c $ é a velocidade da luz.

Passo 3

Aplicando a fórmula da contração do comprimento para a nave:
Lnave = 358,m times raiz1 - (0,728)^2
Calculando o valor dentro da raiz:
(0,728)^2 = 0,529984
Então:
Lnave = 358,m times raiz1 - 0,529984 = 358,m times raiz0,470016 approx 358,m times 0,6856 approx 245,6,m
Portanto, no referencial fixo, o comprimento da nave é aproximadamente 245,6 metros.

Passo 4

Agora, vamos determinar a velocidade relativa entre a nave e o micrometeorito. Como eles estão se movendo em direções opostas, suas velocidades se somam. Então:
vrelativa = vnave + vmicrometeorito = 0,728,c + 0,817,c = 1,545,c
Mas, segundo a teoria da relatividade, a velocidade relativa não pode exceder $ c $. Portanto, precisamos usar a fórmula para a adição de velocidades na relatividade:
c
Onde:
  • $ v_1 = 0,728,c $,
  • $ v_2 = 0,817,c $.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula de adição de velocidades:
vrelativa = 0,728,c + 0,817,c1 + (0,728,c)(0,817,c)c^2 = 1,545,c1 + 0,728 times 0,817 = 1,545,c1 + 0,594 = 1,545,c1,594 approx 0,97,c
Então, a velocidade relativa entre a nave e o micrometeorito é aproximadamente 0,97,c.

Passo 6

Para encontrar o tempo que o micrometeorito leva para passar completamente pela nave, usamos a fórmula:
t = dv
Onde:
  • $ d $ é o comprimento da nave no referencial fixo ( d ),
  • $ v $ é a velocidade relativa ( 245,6,m).

Passo 7

Substituindo os valores:
t = 245,6,m0,97,c
Sabemos que a velocidade da luz $ c $ é aproximadamente c . Então:
3 times 10^8,m/s

Resposta

O micrometeorito leva aproximadamente 8,45 times 10^-7 segundos para passar completamente pela nave espacial.

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