(a) Suponha que acelera-se uma partícula do repouso através da ação de uma força F. Supondo que a segunda lei de Newton para uma partícula, F=d p / d t, seja válida em relatividade, mostre que a energia cinética final K pode ser escrita, usando o teorema trabalho-energia, como K=integral v d p.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que, ao acelerar uma partícula do repouso com uma força F válida na relatividade ( F = dpdt), a energia cinética final K pode ser escrita como
K ;=; integral v,dp,
O conteúdo é o Teorema Trabalho–Energia e a 2ª lei de Newton em forma F = dp/dt. Vamos precisar da definição de trabalho infinitesimal de, da relação ds = v,dt e do fato de que de.

Passo 2

Começando pelo Teorema Trabalho–Energia:
de
E sabemos que, num deslocamento infinitesimal ds, o trabalho feito pela força é
de

Passo 3

Agora substituímos F = dpdt e ds = v,dt:
de
Ou seja, o incremento infinitesimal de trabalho é v,dp.

Passo 4

Pra obter a energia cinética total, integramos desde o repouso (onde p=0 e K=0) até o momento final p:
K = integral dK = integral de

Resposta

boxedK = integral v,dp,

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