Um toroide que possui seção reta de formato retangular é definido pelas seguintes superfícies: os cilindros rho=2 e rho=3 cm, e os planos z=1 e z=2,5 cm. Pelo toroide passa uma densidade superficial de corrente de -50 az A / m na superfície p=3 cm.
Calcule H no ponto P(rho, phi, z) : PB(2,1 cm, 0,2 cm)

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos um “toroide” com seção retangular definido por
  • cilindros em ρ=2 cm e ρ=3 cm
  • planos em z=1 cm e z=2,5 cm
Só que a única corrente viva é uma densidade de corrente superficial na parte externa (ρ=3 cm), vale
K = -50, az A/m,
O que a gente quer é o campo PB: (rho,z)=(2,1 cm,,0,2 cm) no ponto
Matéria envolvida: Lei de Ampère (e condição de contorno de sobre uma superfície com corrente).

Passo 2

Lembra da lei integral de Ampère sem materiais magnéticos:
oint Hcdot dboldsymbolell = Irm enc,
onde hat ntimesl( H2- H1r)= K é a corrente livre atravessando a superfície definida pelo laço.
Também vale a condição de contorno numa superfície com corrente superficial :
No nosso caso a “superfície” com corrente está em ρ=3 cm e o vetor normal .

Passo 3

Vamos dividir em regiões de z:
  1. z<1 cm
  2. 1<z<2{,}5 cm
  3. z>2{,}5 cm
Para cada fatia de altura a corrente só existe entre z=1 e z=2{,}5.
– Região z<1 cm: qualquer laço de Ampère que fazemos (por exemplo uma circunferência em torno do eixo) não “fecha” corrente (ela ainda não começou). Logo
Irm enc=0 Longrightarrow H=0
– Região 1<z<2{,}5 cm: aqui o laço circular em torno do eixo engloba a densidade superficial em ρ=3. Usando a condição de contorno
arhotimesl( Hrm fora- Hrm dentror) = K=-50, az
Hphi,rm dentro=-l(0 - Hphi,rm dentror)= -Kz = 50 A/m, só dá componente em φ, e encontra-se
enquanto fora (ρ>3 cm) .
– Região z>2{,}5 cm: idem ao caso z<1, não tem corrente atravessando, então .

Passo 4

Nosso ponto boxed H(PB)=0, tem z=0{,}2 cm, que está na região “z<1 cm”. Aí não há corrente encerrada em volta dele, então

Resposta

(em A/m)

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