Uma nave espacial de massa
viaja com velocidade constante pelo espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de
durante um tempo muito curto (que vamos aproximar como sendo instantâneo) a uma velocidade de
em relação à nave.
a) Ignorando qualquer possível mudança de massa total do sistema, calcule a velocidade que a nave vai ter em relação ao seu referencial inicial (antes de aceleração).
b) Calcule essa mesma velocidade, agora usando a mecânica de Newton.
c) Usando os resultados de a), estime a mudança na massa total do sistema nesse processo.
a) Ignorando qualquer possível mudança de massa total do sistema, calcule a velocidade que a nave vai ter em relação ao seu referencial inicial (antes de aceleração).
b) Calcule essa mesma velocidade, agora usando a mecânica de Newton.
c) Usando os resultados de a), estime a mudança na massa total do sistema nesse processo.
Passo 1
O enunciado é uma aplicação de conservação de momento e energia na ejeção de massa por um foguete, usando tanto o tratamento relativístico (a) quanto o clássico de Newton (b), e depois estimando a perda de massa equivalente à energia cinética gerada (c). Dados: massa inicial da nave (antes de ejetar)
,kg, massa ejetada
,kg, velocidade de ejeção relativa à nave
(sinal negativo diz que vai para trás). Queremos a velocidade final da nave
no referencial inicial.
Passo 2
a) Conservação do momento relativístico (ignorando qualquer mudança do “rest‐mass” total).
- No referencial inicial a velocidade da nave antes é zero, então o momento inicial é nulo.
- Depois da ejeção, o foguete de massa
,kg tem velocidade e fator de Lorentz . A massa ejecta tem velocidade no laboratório, dada pela soma relativística
- A conservação de momento é
- Como esperamos
, aproximamos e , logo com
- Então
- Numericamente, com
,m/s,
Passo 3
b) Tratamento clássico de Newton (momentum
). Antes
. Depois:
Passo 4
c) Estimativa da perda de massa total: toda a energia cinética ganha (nave mais massa ejetada) saiu de ‘massa‐energia’ interna. A mudança de massa é
onde
- Calculamos
, . - Então
- Soma
,J. - Logo
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)