Uma nave espacial de massa 10^{6} \mathrm{~kg} viaja com velocidade constante pelo espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de 10^{3} \mathrm{~kg} durante um tempo muito curto (que vamos aproximar como sendo instantâneo) a uma velocidade de c / 2 em relação à nave.
a) Ignorando qualquer possível mudança de massa total do sistema, calcule a velocidade que a nave vai ter em relação ao seu referencial inicial (antes de aceleração).
b) Calcule essa mesma velocidade, agora usando a mecânica de Newton.
c) Usando os resultados de a), estime a mudança na massa total do sistema nesse processo.

Passo 1

O enunciado é uma aplicação de conservação de momento e energia na ejeção de massa por um foguete, usando tanto o tratamento relativístico (a) quanto o clássico de Newton (b), e depois estimando a perda de massa equivalente à energia cinética gerada (c). Dados: massa inicial da nave (antes de ejetar) M=10^{6},kg, massa ejetada m=10^{3},kg, velocidade de ejeção relativa à nave u'=-\tfrac{c}{2} (sinal negativo diz que vai para trás). Queremos a velocidade final da nave v no referencial inicial.

Passo 2

a) Conservação do momento relativístico (ignorando qualquer mudança do “rest‐mass” total).
  1. No referencial inicial a velocidade da nave antes é zero, então o momento inicial é nulo.
  2. Depois da ejeção, o foguete de massa M-m\approx10^{6}-10^{3}\approx0{,}999\times10^{6},kg tem velocidade v e fator de Lorentz \gamma(v). A massa ejecta m tem velocidade u no laboratório, dada pela soma relativística
u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}\,.
  1. A conservação de momento é
(M-m)\,\gamma(v)\,v \;+\;m\,\gamma(u)\,u \;=\;0.
  1. Como esperamos v\ll c, aproximamos \gamma(v)\approx1 e u\approx u', logo \gamma(u)\approx\gamma(u') com
\gamma(u')=\frac{1}{\sqrt{1-(1/2)^2}}=\frac{2}{\sqrt3}\approx1{,}155.
  1. Então
(M-m)\,v \approx m\,\gamma(u')\,(+c/2) \quad\Longrightarrow\quad v\approx\frac{m}{M}\,\gamma(u')\;\frac{c}{2} =\;10^{-3}\times1{,}155\times\frac{c}{2} \approx1{,}732\times10^{-4}\,c.
  1. Numericamente, com c\approx3{,}0\times10^8,m/s,
v\approx1{,}732\times10^{-4}\times3{,}0\times10^8 \approx1{,}73\times10^5\text{ m/s.}

Passo 3

b) Tratamento clássico de Newton (momentum p=mv). Antes p_i=0. Depois:
M\,v=m\,(c/2) \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{m}{M}\,\frac{c}{2} =10^{-3}\times\frac{c}{2} =0{,}5\times10^{-3}\,c =1{,}5\times10^5\text{ m/s.}

Passo 4

c) Estimativa da perda de massa total: toda a energia cinética ganha (nave mais massa ejetada) saiu de ‘massa‐energia’ interna. A mudança de massa é
\Delta m =\frac{K_{\rm nave}+K_{\rm ejeta}}{c^2},
onde
K_{\rm nave}=(M-m)\bigl[\gamma(v)-1\bigr]\,c^2, \quad K_{\rm ejeta}=m\bigl[\gamma(u')-1\bigr]\,c^2.
  1. Calculamos \gamma(v)\approx1+\tfrac12(v/c)^2\approx1+1{,}67\times10^{-7}, \gamma(u')-1\approx1{,}155-1=0{,}155.
  2. Então
K_{\rm nave}\approx0{,}999\times10^6\times1{,}67\times10^{-7}\,c^2 \approx1{,}5\times10^{16}\text{ J},
K_{\rm ejeta}\approx10^3\times0{,}155\,c^2\approx1{,}39\times10^{19}\text{ J}.
  1. Soma K_{\rm tot}\approx1{,}39\times10^{19}+1{,}5\times10^{16}\approx1{,}3935\times10^{19},J.
  2. Logo
\Delta m=\frac{1{,}3935\times10^{19}}{c^2} \approx\frac{1{,}3935\times10^{19}}{9\times10^{16}} \approx155\text{ kg.}

Resposta

a) v\approx1{,}73\times10^{5}\text{ m/s}
b) v\approx1{,}50\times10^{5}\text{ m/s}
c) \Delta m\approx155\text{ kg}

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