Seja um observador
com tetravelocidade
e uma partícula
com tetra-aceleração
. Se
(note, essa igualdade é diferente do que você provou no exercício 3 , porque aqui
e
se referem a objetos diferentes!), prove que no referencial de repouso de
a partícula
se move com módulo de velocidade
constante.
Passo 1
O enunciado diz que temos um observador
cuja tetravelocidade é
e uma partícula
com tetra-aceleração
. Foi dada a condição
e queremos mostrar que, no referencial de repouso de
, o módulo da velocidade tridimensional de
, isto é
, é constante.
Para isso, vamos:
Para isso, vamos:
- Escolher o referencial de repouso de
, em que . - Traduzir
nessa base, o que dará a informação sobre a componente temporal . - Relacionar
com a velocidade e a aceleração clássica de . - Mostrar que isso implica
.
Passo 2
No referencial de repouso de
temos
Então
Passo 3
Lembrando que a tetra-aceleração de
se define por
onde
é a tetravelocidade de
e
é o tempo próprio de
.
Em particular,
Em particular,
Mas sabemos que
e como
, vem
Logo
Como
, segue
Passo 4
O produto escalar
aparece em
Como
, temos
Resposta
No referencial de repouso de
, a condição
implica
e, portanto,
é constante.