Seja um observador S com tetravelocidade U e uma partícula P com tetra-aceleração A. Se U \cdot A=0 (note, essa igualdade é diferente do que você provou no exercício 3 , porque aqui U e A se referem a objetos diferentes!), prove que no referencial de repouso de S a partícula P se move com módulo de velocidade |\vec{v}| constante.

Passo 1

O enunciado diz que temos um observador S cuja tetravelocidade é U^\mu e uma partícula P com tetra-aceleração A^\mu. Foi dada a condição
U\cdot A=0
e queremos mostrar que, no referencial de repouso de S, o módulo da velocidade tridimensional de P, isto é \lvert\vec v\rvert, é constante.
Para isso, vamos:
  1. Escolher o referencial de repouso de S, em que U^\mu=(c,0,0,0).
  2. Traduzir U\cdot A=0 nessa base, o que dará a informação sobre a componente temporal A^0.
  3. Relacionar A^0 com a velocidade \vec v e a aceleração \vec a clássica de P.
  4. Mostrar que isso implica \frac{d}{dt}(\lvert\vec v\rvert^2)=0.

Passo 2

No referencial de repouso de S temos
U^\mu = (c,\,0,\,0,\,0).
Então
U\cdot A = \eta_{\mu\nu}U^\mu A^\nu = U^0 A^0 = c\,A^0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad A^0=0.

Passo 3

Lembrando que a tetra-aceleração de P se define por
A^\mu = \frac{dV^\mu}{d\tau},
onde V^\mu=(\gamma c,\;\gamma\vec v) é a tetravelocidade de P e \tau é o tempo próprio de P.
Em particular,
A^0 = \frac{d}{d\tau}(\gamma c) = c\,\frac{d\gamma}{d\tau}.
Mas sabemos que
\frac{d\gamma}{dt} = \frac{\gamma^3}{c^2}\,\vec v\cdot\vec a,
e como d\tau = dt/\gamma, vem
\frac{d\gamma}{d\tau} = \gamma\,\frac{d\gamma}{dt} = \frac{\gamma^4}{c^2}\,\vec v\cdot\vec a.
Logo
A^0 = c\,\frac{\gamma^4}{c^2}\,\vec v\cdot\vec a = \frac{\gamma^4}{c}\,\bigl(\vec v\cdot\vec a\bigr).
Como A^0=0, segue
\vec v\cdot\vec a = 0.

Passo 4

O produto escalar \vec v\cdot\vec a aparece em
\frac{d}{dt}\bigl(\tfrac12\lvert\vec v\rvert^2\bigr) = \vec v\cdot\frac{d\vec v}{dt} = \vec v\cdot\vec a.
Como \vec v\cdot\vec a=0, temos
\frac{d}{dt}\bigl(\lvert\vec v\rvert^2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lvert\vec v\rvert^2=\text{constante} \quad\Longrightarrow\quad \lvert\vec v\rvert=\text{constante}.

Resposta

No referencial de repouso de S, a condição U\cdot A=0 implica \vec v\cdot\vec a=0 e, portanto, \lvert\vec v\rvert é constante.

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