Usando
e
para denotar, respectivamente: vetores do tipo tempo (i.e.,
), tipo espaço (i.e.,
), tipo nulo (i.e.,
) e um vetor geral (ou seja, sem presumir um valor específico para
). Prove que:
a) Qualquer V (que não seja do tipo nulo) ortogonal a um T ou a um N é do tipo S .
b) A soma de dois vetores tipo
, ou de um
com um
, que sejam isócronos (ou seja, os dois apontando para o futuro ou para o passado), é necessariamente um T , isócronos com os dois vetores originais.
c) Todo T pode ser escrito como a soma de dois N isócronos.
d) Todo
pode ser escrito como a diferença de dois
isócrons.
a) Qualquer V (que não seja do tipo nulo) ortogonal a um T ou a um N é do tipo S .
b) A soma de dois vetores tipo
c) Todo T pode ser escrito como a soma de dois N isócronos.
d) Todo
Passo 1
O problema se passa num espaço de Minkowski de assinatura
. Classificamos um vetor
conforme
: tempo se
, espaço se
, nulo se
. Precisamos provar quatro afirmações envolvendo ortogonalidade e decomposição de vetores desses tipos.
Passo 2
Prova de (a): dito
um vetor de tipo tempo
ou nulo
, e
um vetor não-nulo ortogonal a
, ou seja,
.
Escolhendo um sistema de coordenadas onde fique em forma canônica—se
é tempo,
; se
é nulo,
—a condição
força, no primeiro caso,
e, no segundo,
. Em ambas situações calcula-se
Escolhendo um sistema de coordenadas onde
e a igualdade só ocorre se todos os componentes espaciais forem zero, caso em que
seria nulo, contradizendo a hipótese. Logo
, ou seja,
é espaço.
Passo 3
Prova de (b): sejam
e
dois vetores tempo isocronos (
,
e ambos futuros ou ambos passados). Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz em Minkowski,
Então
e
é tempo e isocrono.
Se é tempo isocrono e
é nulo isocrono, então
e
Se
logo
também é tempo isocrono.
Passo 4
Prova de (c): seja
um vetor tempo futuro. No referencial próprio de
tem-se
com
. Definimos dois vetores nulos futuros
onde
é um vetor unitário arbitrário em
. Cada um satisfaz
e têm componente temporal positiva, e claramente
Passo 5
Prova de (d): seja
um vetor espaço. No referencial em que
, com
, definimos
Cada
e a componente temporal
, e
Resposta
a) Se
e
ou
, então
, logo
é espaço.
b) A soma de dois isocronos ou de um
com um
isocrono é um vetor
isocrono.
c) Todo futuro escreve-se como soma de dois
futuros.
d) Todo é a diferença de dois
futuros.
b) A soma de dois
c) Todo
d) Todo