Usando T, E, N e V para denotar, respectivamente: vetores do tipo tempo (i.e., T^{2}>0 ), tipo espaço (i.e., E^{2}<0 ), tipo nulo (i.e., N^{2}=0 ) e um vetor geral (ou seja, sem presumir um valor específico para V^{2} ). Prove que:
a) Qualquer V (que não seja do tipo nulo) ortogonal a um T ou a um N é do tipo S .
b) A soma de dois vetores tipo T, ou de um T com um N, que sejam isócronos (ou seja, os dois apontando para o futuro ou para o passado), é necessariamente um T , isócronos com os dois vetores originais.
c) Todo T pode ser escrito como a soma de dois N isócronos.
d) Todo S pode ser escrito como a diferença de dois N isócrons.

Passo 1

O problema se passa num espaço de Minkowski de assinatura (+,-,-,-). Classificamos um vetor V conforme V^2: tempo se V^2>0, espaço se V^2<0, nulo se V^2=0. Precisamos provar quatro afirmações envolvendo ortogonalidade e decomposição de vetores desses tipos.

Passo 2

Prova de (a): dito X um vetor de tipo tempo X^2>0 ou nulo X^2=0, e V um vetor não-nulo ortogonal a X, ou seja, V\cdot X=0.
Escolhendo um sistema de coordenadas onde X fique em forma canônica—se X é tempo, X=(x^0,0,0,0); se X é nulo, X=(\ell,\ell,0,0)—a condição V\cdot X=0 força, no primeiro caso, V^0=0 e, no segundo, V^0=V^1. Em ambas situações calcula-se
V^2 = (V^0)^2-(V^1)^2-(V^2)^2-(V^3)^2 \le 0
e a igualdade só ocorre se todos os componentes espaciais forem zero, caso em que V seria nulo, contradizendo a hipótese. Logo V^2<0, ou seja, V é espaço.

Passo 3

Prova de (b): sejam T_1 e T_2 dois vetores tempo iso­cronos ( T_1^2>0, T_2^2>0 e ambos futuros ou ambos passados). Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz em Minkowski,
T_1\cdot T_2 > \sqrt{T_1^2\,T_2^2}\,.
Então
(T_1+T_2)^2 = T_1^2 + T_2^2 + 2\,T_1\cdot T_2 > \bigl(\sqrt{T_1^2}+\sqrt{T_2^2}\bigr)^2 >0,
e T_1+T_2 é tempo e iso­crono.
Se T é tempo iso­crono e N é nulo iso­crono, então T\cdot N>0 e
(T+N)^2 = T^2 + 2\,T\cdot N >0,
logo T+N também é tempo iso­crono.

Passo 4

Prova de (c): seja T um vetor tempo futuro. No referencial próprio de T tem-se T=(t,0,0,0) com t>0. Definimos dois vetores nulos futuros
N_1 = \Bigl(\tfrac t2,\;\tfrac t2\,\mathbf e\Bigr),\quad N_2 = \Bigl(\tfrac t2,\;-\tfrac t2\,\mathbf e\Bigr),
onde \mathbf e é um vetor unitário arbitrário em \mathbb R^3. Cada um satisfaz N_i^2=0 e têm componente temporal positiva, e claramente
N_1+N_2 = (t,0,0,0) = T.

Passo 5

Prova de (d): seja S um vetor espaço. No referencial em que S=(0,\mathbf s), com \mathbf s\in\mathbb R^3, definimos
N_1 = \bigl(|\mathbf s|,\;\mathbf s\bigr),\quad N_2 = \bigl(|\mathbf s|,\;-\mathbf s\bigr).
Cada N_i^2 = |\mathbf s|^2 -|\mathbf s|^2=0 e a componente temporal >0, e
N_1 - N_2 = (0,2\,\mathbf s)\quad\Longrightarrow\quad S = \tfrac12\,(N_1 - N_2).

Resposta

a) Se V\neq0 e V\perp T ou V\perp N, então V^2<0, logo V é espaço.
b) A soma de dois T iso­cronos ou de um T com um N iso­crono é um vetor T iso­crono.
c) Todo T futuro escreve-se como soma de dois N futuros.
d) Todo S é a diferença de dois N futuros.

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