Um navio com peso total (incluindo a carga) de 55.000 ton, ao se deslocar sofre a ação da força de resistência hidrodinamica de 2.500 kN . Determinar a velocidade relativa de deslocamento do navio, sabendo que o mesmo possui um comprimento de 120 metros ao nível d’água, uma boca de 18 metros e um calado de 10,0 metros. Considerar o peso específico da água de 1 kg /litro. ( 1 ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Peso total do navio (incluindo carga): 55{.}000\\ \text{ton}.
  • Força de resistência hidrodinâmica: 2{.}500\\ \text{kN}.
  • Comprimento ao nível d’água: L=120\\ \text{m}.
  • Boca: B=18\\ \text{m}.
  • Calado: T=10{,}0\\ \text{m}.
  • Peso específico da água (densidade): 1\\ \text{kg}/\text{litro} (ou seja, \rho = 1000\\ \text{kg}/\text{m}^3).
O que a questão pede:
  • Determinar a velocidade relativa de deslocamento do navio (ou seja, a velocidade V tal que a resistência hidrodinâmica total seja 2{.}500\\ \text{kN}).
Observação importante sobre os dados (só para clareza): os dados do enunciado serão usados diretamente nas fórmulas que vou aplicar; se houver discrepância física entre volume deslocado e as dimensões do casco isso não será pedido para corrigir — vou proceder com uma abordagem prática e empírica para estimar a velocidade a partir da resistência dada.

Passo 2

Plano de solução e escolha do método (sem desenvolver ainda):
  • Em provas de mecânica naval, uma forma prática de relacionar resistência e velocidade é dividir a resistência em termos de resistência por atrito (friccional) e usar a fórmula clássica de resistência por atrito:
R = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V^2\,S\,C_f,
onde:
  • R é a resistência (N),
  • \rho é a densidade do fluido ( \text{kg}/\text{m}^3),
  • V é a velocidade relativa ( \text{m}/\text{s}),
  • S é a superfície molhada (wetted surface) do casco ( \text{m}^2),
  • C_f é o coeficiente de atrito (sem dimensão), função do número de Reynolds.
  • Vou assumir que a resistência dada é dominada pela componente friccional ou que podemos usar essa relação como aproximação prática (método razoável em exercícios didáticos). O coeficiente C_f será estimado pela fórmula empírica ITTC-1957:
C_f = \dfrac{0{,}075}{\bigl(\log_{10}(\mathrm{Re})-2\bigr)^2},
com \mathrm{Re} = \dfrac{V\,L}{\nu}, onde \nu é a viscosidade cinemática da água (vou usar \nu = 1{,}0\times 10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}, valor típico para água doce/temperatura ambiente).
  • A superfície molhada S precisa ser estimada por uma fórmula empírica baseada nas dimensões do casco. Uma estimativa prática (usada em exercícios) é:
S \approx C_s\,L\,(B + 2T),
onde C_s é um fator adimensional de forma; usaremos C_s = 0{,}85 (valor típico para casco comercial — é uma aproximação razoável para calcular S sem dados de forma detalhados).
  • Como a equação contém C_f que depende de V (via \mathrm{Re}), teremos que resolver a equação numericamente por iteração simples: chutar um V, calcular C_f, calcular R e ajustar V até \;R=2{.}500\\ \text{kN}.
Agora aplico esse método passo a passo, explicando cada fórmula usada.

Passo 3

Calcular parâmetros fixos e estimativa da superfície molhada S.
Dados numéricos convertidos:
  • R = 2{.}500\\ \text{kN} = 2{,}5\times 10^{6}\\ \text{N}.
  • \rho = 1000\\ \text{kg}/\text{m}^3.
  • L=120\\ \text{m}, B=18\\ \text{m}, T=10{,}0\\ \text{m}.
  • C_s = 0{,}85 (fator empírico para estimar S).
  • \nu = 1{,}0\times 10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s} (viscosidade cinemática típica).
Estimativa da superfície molhada:
S \approx C_s\,L\,(B + 2T).
Substituindo:
S \approx 0{,}85 \times 120 \times (18 + 2\times 10{,}0).
Calcule o parêntese:
18 + 2\times 10{,}0 = 18 + 20 = 38.
Agora:
S \approx 0{,}85 \times 120 \times 38.
Multiplicando em etapas:
120 \times 38 = 4{.}560,
S \approx 0{,}85 \times 4{.}560 = 3{.}876\\ \text{m}^2.
Portanto a estimativa usada será S \approx 3{.}876\\ \text{m}^2.
Comentário didático: essa fórmula dá uma ordem de grandeza para a área molhada; em problemas de prova é comum usar um fator empírico ( C_s) assim para não exigir dados de linha do casco.

Passo 4

Apresentar a equação a resolver e isolá-la para iteração.
Equação de resistência friccional:
R = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V^2\,S\,C_f(V).
Queremos V tal que R=2{,}5\times 10^{6}\\ \text{N}. Reescrevendo:
C_f(V) = \dfrac{2R}{\rho\,V^2\,S}.
Por outro lado C_f(V) também é dado pela fórmula ITTC:
C_f(V) = \dfrac{0{,}075}{\bigl(\log_{10}(\mathrm{Re}(V))-2\bigr)^2}, \qquad \mathrm{Re}(V) = \dfrac{V\,L}{\nu}.
A estratégia: escolher um chute inicial para V, calcular \mathrm{Re}, depois C_f pela ITTC, calcular R_{\text{calc}}=\tfrac{1}{2}\rho V^2 S C_f. Comparar com 2{,}5\times10^{6} e ajustar V até convergir.
Vou fazer iterações explícitas e mostrar as contas (para você poder reproduzir na prova, eu mostro tudo bem detalhado).

Passo 5

Iteração 1 — chute inicial conservador (por exemplo V_0 = 10\\ \text{m/s}):
  1. Calcular \mathrm{Re}:
\mathrm{Re} = \dfrac{V_0 L}{\nu} = \dfrac{10 \times 120}{1{,}0\times 10^{-6}} = 1{,}20\times 10^{9}.
  1. Calcular C_f (ITTC):
\log_{10}(\mathrm{Re}) = \log_{10}(1{,}20\times 10^{9}) \approx 9{,}07918,
\log_{10}(\mathrm{Re})-2 \approx 7{,}07918,
C_f = \dfrac{0{,}075}{(7{,}07918)^2} \approx \dfrac{0{,}075}{50{,}114} \approx 1{,}497\times 10^{-3}.
  1. Calcular R_{\text{calc}}:
R_{\text{calc}} = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,S\,C_f = \tfrac{1}{2}\times 1000 \times 10^2 \times 3876 \times 1{,}497\times 10^{-3}.
Passo a passo:
\tfrac{1}{2}\rho = 500, \quad V_0^2 = 100, \quad 500\times 100 = 50{.}000,
50{.}000 \times 3876 = 193{.}800{.}000,
193{.}800{.}000 \times 1{,}497\times 10^{-3} \approx 2{,}90\times 10^{5}\\ \text{N} = 290\\ \text{kN}.
Comparação: R_{\text{calc}} = 290\\ \text{kN} é muito menor que 2{.}500\\ \text{kN}. Precisamos aumentar V.

Passo 6

Iteração 2 — maior chute, V_1 = 30\\ \text{m/s}:
  1. \mathrm{Re} = \dfrac{30\times 120}{1{,}0\times 10^{-6}} = 3{,}60\times 10^{9}.
  2. \log_{10}(\mathrm{Re}) \approx 9{,}5563, então \log_{10}(\mathrm{Re})-2 \approx 7{,}5563.
  3. C_f = \dfrac{0{,}075}{(7{,}5563)^2} \approx \dfrac{0{,}075}{57{,}110} \approx 1{,}313\times 10^{-3}.
  4. Calcular R_{\text{calc}}:
R_{\text{calc}} = \tfrac{1}{2}\times 1000 \times 30^2 \times 3876 \times 1{,}313\times 10^{-3}.
Passo a passo:
V_1^2 = 900,\quad \tfrac{1}{2}\rho = 500,\quad 500\times 900 = 450{.}000,
450{.}000\times 3876 = 1{.}744.200.000,
1{.}744.200.000 \times 1{,}313\times 10^{-3} \approx 2{,}289\times 10^{6}\\ \text{N} = 2{.}289\\ \text{MN}.
Comparação: 2{,}289\\ \text{MN} é próximo, mas ainda menor que 2{,}5\\ \text{MN}. Aumentar um pouco V.

Passo 7

Iteração 3 — ajuste fino entre 30 e 32 m/s. Vou calcular em V_2 = 31{,}43\\ \text{m/s} (interpolação/ajuste):
  1. \mathrm{Re} = \dfrac{31{,}43\times 120}{1{,}0\times 10^{-6}} = 3{,}771{,}6\times 10^{9}.
  2. \log_{10}(\mathrm{Re}) \approx 9{,}5765, então \log_{10}(\mathrm{Re})-2 \approx 7{,}5765.
  3. C_f = \dfrac{0{,}075}{(7{,}5765)^2} \approx \dfrac{0{,}075}{57{,}423} \approx 1{,}3059\times 10^{-3}.
  4. Calcular R_{\text{calc}}:
V_2^2 = (31{,}43)^2 \approx 987{,}16,
\tfrac{1}{2}\rho = 500,\quad 500\times 987{,}16 = 493{.}580,
493{.}580 \times 3876 \approx 1{.}911{,}0\times 10^{9},
1{.}911{,}0\times 10^{9} \times 1{,}3059\times 10^{-3} \approx 2{,}497\times 10^{6}\\ \text{N} \approx 2{,}497\\ \text{MN}.
Comparação: R_{\text{calc}} \approx 2{,}497\\ \text{MN} está muito perto de 2{,}5\\ \text{MN}. A diferença é pequena (cerca de 3\\ \text{kN}), portanto a velocidade convergiu para cerca de 31{,}43\\ \text{m/s}.

Passo 8

Interpretação e conversões finais (para resultado prático na prova):
  • Velocidade encontrada: V \approx 31{,}43\\ \text{m/s}.
Converte para nós (1 nó =0{,}514444\\ \text{m/s}) e para km/h (1 m/s = 3,6 km/h):
V \approx 31{,}43\\ \text{m/s} \approx \dfrac{31{,}43}{0{,}514444}\\ \text{nós} \approx 61{,}1\\ \text{nós},óó
V \approx 31{,}43\\ \text{m/s} \times 3{,}6 \approx 113{,}1\\ \text{km/h}.
Comentário didático final:
  • O procedimento usado é uma aproximação baseada na resistência por atrito e na fórmula ITTC para C_f. Em navios reais a resistência total inclui também componente de resistencia de forma e de ondas (resistência residual) — para contas de prova é comum usar essa aproximação friccional e uma estimativa empírica da área molhada.
  • Se na prova pedirem outra hipótese (por exemplo incluir coeficientes residuais ou usar outro modelo para S), substitui-se e repete-se o processo iterativo.

Resposta

V \approx 31{,}43\\ \text{m/s} \approx 61{,}1\\ \text{nós}ó

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