Uma escada de 8 m está apoiada em uma parede vertical. A base da escada escorrega horizontalmente à taxa constante de
. Determine a taxa de variação do deslocamento do topo da escada no instante em que este se encontar a 4 m do chão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício fala sobre uma escada de 8 metros apoiada numa parede vertical. A base dessa escada está escorregando horizontalmente a uma taxa constante de 0,2 metros por segundo. Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido o topo da escada está subindo quando ele está a 4 metros do chão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Imagina uma escada formando um triângulo retângulo com a parede e o chão. A escada é a hipotenusa desse triângulo e tem 8 metros. A base da escada está se movendo horizontalmente, e o topo está subindo verticalmente. Vamos chamar a distância horizontal da base até a parede de x e a altura do topo da escada até o chão de y.
Passo 3
Sabemos que, em um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras se aplica. Isso nos dá a relação:
Ou seja:
Passo 4
Queremos descobrir como a altura y está mudando com o tempo quando y = 4 metros. Para isso, vamos derivar a equação com respeito ao tempo t para relacionar as taxas de variação de x e y.
Derivando ambos os lados:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que:
Primeiro, precisamos encontrar o valor de x quando y = 4 metros. Usando a equação do teorema de Pitágoras:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na equação derivada:
Resolvendo para
:
Resposta
A taxa de variação do deslocamento do topo da escada quando ele está a 4 metros do chão é
.