Uma escada de 8 m está apoiada em uma parede vertical. A base da escada escorrega horizontalmente à taxa constante de 0,2 m / s. Determine a taxa de variação do deslocamento do topo da escada no instante em que este se encontar a 4 m do chão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício fala sobre uma escada de 8 metros apoiada numa parede vertical. A base dessa escada está escorregando horizontalmente a uma taxa constante de 0,2 metros por segundo. Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido o topo da escada está subindo quando ele está a 4 metros do chão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Imagina uma escada formando um triângulo retângulo com a parede e o chão. A escada é a hipotenusa desse triângulo e tem 8 metros. A base da escada está se movendo horizontalmente, e o topo está subindo verticalmente. Vamos chamar a distância horizontal da base até a parede de x e a altura do topo da escada até o chão de y.

Passo 3

Sabemos que, em um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras se aplica. Isso nos dá a relação:
x^2 + y^2 = 8^2
Ou seja:
x^2 + y^2 = 64

Passo 4

Queremos descobrir como a altura y está mudando com o tempo quando y = 4 metros. Para isso, vamos derivar a equação com respeito ao tempo t para relacionar as taxas de variação de x e y.
Derivando ambos os lados:
2x cdot dxdt + 2y cdot dydt = 0
Simplificando:
x cdot dxdt + y cdot dydt = 0

Passo 5

Sabemos que:
  • dxdt = 0,2 , m/s
  • y = 4 , m
Primeiro, precisamos encontrar o valor de x quando y = 4 metros. Usando a equação do teorema de Pitágoras:
x^2 + 4^2 = 64
x^2 + 16 = 64
x^2 = 48
x = raiz48 = 4raiz3 , m

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação derivada:
(4raiz3) cdot 0,2 + 4 cdot dydt = 0
Resolvendo para dydt:
0,8raiz3 + 4 cdot dydt = 0
4 cdot dydt = -0,8raiz3
dydt = -0,8raiz34
dydt = -0,2raiz3 , m/s

Resposta

A taxa de variação do deslocamento do topo da escada quando ele está a 4 metros do chão é -0,2raiz3 , m/s.

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