Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-n}+e^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(e^{-n}+e^{n}\bigr)
escrevendo, quando for útil, os quatro primeiros termos e depois decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste do termo geral e, também, observar que ela se separa em duas séries geométricas:
\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}e^{n}.

Passo 2

Vamos listar os quatro primeiros termos da série original:
\begin{aligned} n=1:&\quad e^{-1}+e^{1},\\\ n=2:&\quad e^{-2}+e^{2},\\\ n=3:&\quad e^{-3}+e^{3},\\\ n=4:&\quad e^{-4}+e^{4}. \end{aligned}

Passo 3

Aplicando o teste do termo geral: se
\displaystyle a_n=e^{-n}+e^{n}
não tende a zero quando n\to\infty, então a série diverge. Calculamos
\lim_{n\to\infty}e^{-n}=0, \qquad \lim_{n\to\infty}e^{n}=+\infty,
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\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\bigl(e^{-n}+e^{n}\bigr) =+\infty\neq0.
Como o termo geral não se anula, a série diverge imediatamente.

Resposta

A série é divergente, pois o termo geral \,e^{-n}+e^{n} não tende a zero (vai para +\infty).

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