Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3^{n}} \frac{1}{3 n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever os quatro primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3^{n}}\cdot\frac{1}{3n}\Bigr)
e decidir se ela é convergente. Se for, calcular a soma; se for divergente, justificar.

Passo 2

Para montar os quatro primeiros termos, substituímos n=1,2,3,4 na expressão geral
a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\cdot\frac{1}{3n}=\frac{1}{3^{n+1}\,n}.
Assim:
a_{1}=\frac{1}{3^{2}\cdot1}=\frac{1}{9},\quad a_{2}=\frac{1}{3^{3}\cdot2}=\frac{1}{54},\quad a_{3}=\frac{1}{3^{4}\cdot3}=\frac{1}{243},\quad a_{4}=\frac{1}{3^{5}\cdot4}=\frac{1}{972}.

Passo 3

Aplicamos o critério da razão para testar convergência absoluta.
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(3^{n+2}(n+1))}{1/(3^{n+1}n)} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3(n+1)} =\frac{1}{3}<1.
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente, logo converge.

Passo 4

Para encontrar a soma, observe que
\frac{1}{3^{n+1}n}=\frac{1}{3}\,\frac{1}{3^{n}n},
então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n+1}n} =\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/3)^{n}}{n}.
Sabemos que, para |x|<1, vale
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln\bigl(1-x\bigr).
Tomando x=\tfrac{1}{3}, vem
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/3)^{n}}{n} =-\ln\!\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr) =-\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).
Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n+1}n} =\frac{1}{3}\,\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}\frac{1}{3n} =\frac{1}{3}\,\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

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