Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{5}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{5}\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n},
escrever os quatro primeiros termos, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo principal é a série geométrica, cujo critério de convergência é |r|<1, e a fórmula da soma quando converge é S = a_{1}/(1-r).

Passo 2

Identificamos o primeiro termo a_{1} e a razão r:
a_{1} = \frac{7}{5}\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{1} = \frac{21}{20}, \quad r = \frac{3}{4}.
Os quatro primeiros termos são:
a_{1} = \frac{21}{20},\quad a_{2} = \frac{7}{5}\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{2} = \frac{63}{80},\quad a_{3} = \frac{7}{5}\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{3} = \frac{189}{320},\quad a_{4} = \frac{7}{5}\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{4} = \frac{567}{1280}.

Passo 3

Aplicamos o critério de convergência da série geométrica:
|r| = \Bigl|\tfrac{3}{4}\Bigr| = 0{,}75 < 1.
Como |r|<1, a série converge.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes, a soma vale
S = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{\frac{21}{20}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{21}{20}}{\frac{1}{4}} = \frac{21}{20}\times 4 = \frac{84}{20} = \frac{21}{5}.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
\frac{21}{20},\\ \frac{63}{80},\\ \frac{189}{320},\\ \frac{567}{1280}.
A série é convergente (pois |r|=3/4<1) e sua soma é
\displaystyle \frac{21}{5}.

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