A negação de um inteiro [(a, b)] é definida por
-[(a, b)]:=[(b, a)]
Mostre que, seja qual for o inteiro x, vale
-(-x)=x

Passo 1

O enunciado define inteiros como classes de equivalência de pares ordenados de naturais e a negação de um inteiro. Precisamos usar essa definição para mostrar a propriedade de dupla negação, isto é, que aplicá-la duas vezes volta ao elemento original.

Passo 2

Seja o inteiro arbitrário x. Então existe um par de naturais (a,b) tal que
x=[(a,b)]
Pela definição de negação, temos
-x = -[(a,b)] = [(b,a)]

Passo 3

Agora aplicamos a negação novamente em -x. Usando a mesma definição,
-(-x) = -l([(b,a)]r) = [(a,b)]
Mas [(a,b)] é justamente a classe que representa x. Portanto
-(-x) = [(a,b)] = x

Resposta

Como vimos, para qualquer inteiro x, vale -(-x))=x.

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