Seja
uma função. Sejam
e
.
Defina
.
Defina
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para definir $ f^{-1}(Y) $, onde $ f: A \rightarrow B $ é uma função, e $ Y $ é um subconjunto de $ B $. Estamos trabalhando com funções e seus conjuntos imagem e pré-imagem. Para resolver isso, precisamos entender o que significa a pré-imagem de um conjunto sob uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função $ f: A \rightarrow B $ associa cada elemento de $ A $ a exatamente um elemento de $ B $. Agora, quando temos um subconjunto $ Y $ de $ B $, queremos saber quais elementos de $ A $ são mapeados para algum elemento de $ Y $ pela função $ f $.
Passo 3
A pré-imagem de $ Y $ por $ f $, denotada por $ f^{-1}(Y) $, é o conjunto de todos os elementos em $ A $ que $ f $ manda para algum elemento em $ Y $. Em outras palavras, $ f^{-1}(Y) $ contém todos os $ a \in A $ tais que $ f(a) \in Y $.
Passo 4
Para escrever isso de forma matemática, usamos a seguinte definição:
Isso significa que você olha para todos os elementos de $ A $ e coleta aqueles que, quando passados pela função $ f $, acabam em $ Y $.
Passo 5
Vamos ver um exemplo rápido para clarear:
Suponha que $ A = {1, 2, 3, 4} $, $ B = {a, b, c} $, e $ f $ seja definida por $ f(1) = a $, $ f(2) = b $, $ f(3) = a $, $ f(4) = c $.
Se $ Y = {a} $, então:
Porque $ f(1) = a $ e $ f(3) = a $ estão em $ Y $.
Resposta
A pré-imagem de $ Y $ por $ f $ é definida por