Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=t e^-3 t, y(0)=-1, y^prime(0)=2

Passo 1

O problema é um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes:
Precisamos resolver
$$
y’’-4y’+5y=t e^{-3t}, y''-4y'+5y=t e^-3t,çõ
y(0)=-1,$$
$$
y’(0)=2.$$
O método geral é: (i) achar a solução da homogênea, (ii) achar uma particular por coeficientes a determinar e (iii) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
$$
r^2-4r+5=0. r^2-4r+5=0íã
r=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}2=2\pm i. r=4pmraiz16-202=2pm içãêé
y_h(t)=e^{2t}\bigl(C_1\cos t+C_2\sin t\bigr).$$

Passo 3

Para uma solução particular tentamos um ansatz do tipo
$$
y_p(t)=e^{-3t}(At+B),$$
pois o lado direito é um polinômio de grau 1 vezes yp(t)=e^-3t(At+B), e e^-3t não é raiz da característica.

Passo 4

Vamos calcular yp' e yp'' e substituir em y''-4y'+5y:
Defina
$$
y_p(t)=e^{-3t}(At+B). yp(t)=e^-3t(At+B)ã
y_p’(t)=e^{-3t}\bigl(A-3At-3B\bigr),$$
$$
y_p’’(t)=e^{-3t}\bigl(9At-3A-3(A-3B)\bigr). yp'(t)=e^-3tl(A-3At-3Br),
26A,t+(-10A+26B),=1,t+0. yp''(t)=e^-3tl(9At-3A-3(A-3B)r)
26A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac1{26},$$
$$
-10A+26B=0\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{5}{338}.$$

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t)=yh(t)+yp(t) =e^2t(C1cos t+C2sin t)+e^-3tl(tfrac126t+tfrac5338r)
Usamos y(0)=-1:
y(0)=C1+tfrac5338=-1
$$
C_1=-1-\tfrac{5}{338}=-\tfrac{343}{338}.$$

Passo 6

Por fim, derivamos y(t) para usar y'(0)=2:
y'(t)=e^2tl((2C1+C2)cos t+(2C2-C1)sin tr) +e^-3tl(-3A t+A-3Br)
Em t=0:
y'(0)=2C1+C2+A-3B=2
Substituindo C1,A,B e resolvendo para C2
$$
C_2=\tfrac{682}{169}.$$

Passo 7

Portanto a solução do PVI é
boxedy(t)=e^2tl(-tfrac343338cos t+tfrac682169sin tr) +e^-3tl(tfrac126t+tfrac5338r)

Resposta

y(t)=e^{2t}\Bigl(-\tfrac{343}{338}\cos t+\tfrac{682}{169}\sin t\Bigr)+e^{-3t}\Bigl(\tfrac1{26}t+\tfrac{5}{338}\Bigr)

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