Resolva os PVIs a seguir.
Passo 1
O problema é um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes:
Precisamos resolver
Precisamos resolver
$$
y’’-4y’+5y=t e^{-3t},
y(0)=-1,$$
$$
y’(0)=2.$$
O método geral é: (i) achar a solução da homogênea, (ii) achar uma particular por coeficientes a determinar e (iii) aplicar as condições iniciais.
O método geral é: (i) achar a solução da homogênea, (ii) achar uma particular por coeficientes a determinar e (iii) aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
$$
r^2-4r+5=0.
r=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}2=2\pm i.
y_h(t)=e^{2t}\bigl(C_1\cos t+C_2\sin t\bigr).$$
Passo 3
Para uma solução particular tentamos um ansatz do tipo
$$
y_p(t)=e^{-3t}(At+B),$$
pois o lado direito é um polinômio de grau 1 vezes e
não é raiz da característica.
pois o lado direito é um polinômio de grau 1 vezes
Passo 4
Vamos calcular
e
e substituir em
:
Defina
Defina
$$
y_p(t)=e^{-3t}(At+B).
y_p’(t)=e^{-3t}\bigl(A-3At-3B\bigr),$$
$$
y_p’’(t)=e^{-3t}\bigl(9At-3A-3(A-3B)\bigr).
26A,t+(-10A+26B),=1,t+0.
26A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac1{26},$$
$$
-10A+26B=0\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{5}{338}.$$
Passo 5
A solução geral do PVI é
Usamos
:
$$
C_1=-1-\tfrac{5}{338}=-\tfrac{343}{338}.$$
Passo 6
Por fim, derivamos
para usar
:
Em
:
Substituindo
e resolvendo para
dá
$$
C_2=\tfrac{682}{169}.$$
Passo 7
Portanto a solução do PVI é
Resposta
y(t)=e^{2t}\Bigl(-\tfrac{343}{338}\cos t+\tfrac{682}{169}\sin t\Bigr)+e^{-3t}\Bigl(\tfrac1{26}t+\tfrac{5}{338}\Bigr)