Suponha que a variável aleatória contínua bidimensional ( X, Y ) tem função densidade de probabilidade conjunta dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lr} x^{2}+\frac{x y}{3}, & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2 \\\\ 0 & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
(a) Verifique que f(x, y) é uma função densidade de probabilidade conjunta.
(b) Calcule P(X \leq 1 / 2, Y \geq 1).

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta de (X,Y)\) por \[f(x,y)= \begin{cases} x^{2}+\dfrac{x\,y}{3},&0\le x\le1,\;0\le y\le2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos (a) verificar que (f] é não–negativa e que integra 1 sobre todo o domínio; (b) calcular
P\bigl(X\le\tfrac12,\;Y\ge1\bigr)
por meio de uma integral dupla.

Passo 2

Para ser densidade conjunta, f(x,y) deve ser não–negativa em todo o plano. Como em 0\le x\le1 e 0\le y\le2 temos x^{2}\ge0 e \tfrac{x\,y}{3}\ge0, segue
x^{2}+\frac{x\,y}{3}\ge0.
Fora desse retângulo, f(x,y)=0. Logo, f(x,y)\ge0 em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Agora verificamos a normalização:
\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}\Bigl(x^{2}+\frac{x\,y}{3}\Bigr)\,dy\,dx.
Calculemos primeiro a integral em y:
\int_{0}^{2}\Bigl(x^{2}+\frac{x\,y}{3}\Bigr)dy =\int_{0}^{2}x^{2}\,dy+\int_{0}^{2}\frac{x\,y}{3}\,dy =2x^{2}+\frac{x}{3}\cdot\frac{(2)^{2}}{2} =2x^{2}+\frac{2x}{3}.
Agora em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(2x^{2}+\tfrac{2x}{3}\Bigr)dx =2\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} +\frac{2}{3}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{3}+\frac{1}{3} =1.
Portanto \iint f(x,y)\,dx\,dy=1, confirmando que f é densidade válida.

Passo 4

Para calcular
P\bigl(X\le\tfrac12,\;Y\ge1\bigr)
montamos a integral em x\in[0,\tfrac12] e y\in[1,2]:
P=\int_{x=0}^{1/2}\int_{y=1}^{2}\Bigl(x^{2}+\frac{x\,y}{3}\Bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Primeiro a integral interna em y:
\int_{1}^{2}\Bigl(x^{2}+\frac{x\,y}{3}\Bigr)dy =x^{2}(2-1)+\frac{x}{3}\cdot\frac{(2)^{2}-(1)^{2}}{2} =x^{2}+\frac{x}{3}\cdot\frac{3}{2} =x^{2}+\frac{x}{2}.
Agora em x:
\int_{0}^{1/2}\Bigl(x^{2}+\frac{x}{2}\Bigr)dx =\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1/2} +\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1/2} =\frac{(1/2)^{3}}{3}+\frac{(1/2)^{2}}{4} =\frac{1/24}+\frac{1/16} =\frac{2+3}{48} =\frac{5}{48}.

Resposta

(a) A função f(x,y) é não–negativa e integra 1, logo é densidade conjunta válida.
(b) P(X\le\tfrac12,Y\ge1)=\dfrac{5}{48}.

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