Suponha que a variável aleatória contínua bidimensional ( X, Y ) tem função densidade de probabilidade conjunta dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lr} x^{2}+\frac{x y}{3}, & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2 \\\\ 0 & \text { caso contrário } \end{array}\right.
(a) Verifique que f(x, y) é uma função densidade de probabilidade conjunta.
(b) Calcule P(X \leq 1 / 2, Y \geq 1).
Passo 1
O enunciado dá a densidade conjunta de (X,Y)\) por
\[f(x,y)= \begin{cases} x^{2}+\dfrac{x\,y}{3},&0\le x\le1,\;0\le y\le2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos (a) verificar que (f] é não–negativa e que integra 1 sobre todo o domínio; (b) calcular P\bigl(X\le\tfrac12,\;Y\ge1\bigr)
por meio de uma integral dupla.
Passo 2
Para ser densidade conjunta, f(x,y) deve ser não–negativa em todo o plano. Como em 0\le x\le1 e 0\le y\le2 temos x^{2}\ge0 e \tfrac{x\,y}{3}\ge0, segue
x^{2}+\frac{x\,y}{3}\ge0.
Fora desse retângulo, f(x,y)=0. Logo, f(x,y)\ge0 em todo \mathbb{R}^2.