1. Seja X: n^{o} de caras e Y: n^{o} de coroas, quando são lançadas duas moedas. Determinar a distribuição conjunta de probabilidade da variável (X, Y).

Passo 1

O enunciado diz que lançamos duas moedas e definimos as variáveis aleatórias discretas X = número de caras Y = número de coroas
Precisamos encontrar a distribuição conjunta de probabilidade P_{X,Y}(i,j)=P(X=i,\,Y=j).

Passo 2

Primeiro, identificamos o espaço amostral e as probabilidades de cada resultado. Supondo moedas justas e independentes, temos 4 resultados equiprováveis: \{\mathrm{HH},\mathrm{HT},\mathrm{TH},\mathrm{TT}\}
cada um com probabilidade 1/4.

Passo 3

Em seguida, relacionamos cada resultado ao par (X,Y):
  • \mathrm{HH} corresponde a (X,Y)=(2,0)
  • \mathrm{HT} e \mathrm{TH} correspondem a (X,Y)=(1,1)
  • \mathrm{TT} corresponde a (X,Y)=(0,2)

Passo 4

Agora somamos as probabilidades dos resultados que levam a cada par (i,j):
P(X=2,Y=0)=P(\mathrm{HH})=\tfrac14,
P(X=1,Y=1)=P(\mathrm{HT})+P(\mathrm{TH})=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12,
P(X=0,Y=2)=P(\mathrm{TT})=\tfrac14.
Para quaisquer outros pares (i,j) que não satisfaçam i+j=2,
P(X=i,Y=j)=0.

Resposta

A distribuição conjunta é
P_{X,Y}(i,j)= \begin{cases} \tfrac14, & (i,j)=(2,0),\\[0.3em] \tfrac12, & (i,j)=(1,1),\\[0.3em] \tfrac14, & (i,j)=(0,2),\\[0.3em] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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