Um negociante trabalha com as mercadorias A, B e C. Se vender cada unidade de A por R , cada unidade de , cada unidade de por por e cada unidade de 3,00 por C, obtém uma receita de R . Mas, se vender cada unidade respectivamente por , obtém uma receita de e 50,00 a receita será de R . Monte o sistema de equações lineares que modela o problema do negociante, resolva-o e diga quantas unidades de cada uma das mercadorias ele possui.

Passo 1

A gente quer descobrir quantas unidades de cada mercadoria (A, B e C) o comerciante tem, sabendo que ao vender toda a mercadoria com certos preços obtém receitas diferentes. O conteúdo aqui é modelar um sistema de equações lineares e usar eliminação para encontrar as quantidades.

Passo 2

Vamos chamar de x o número de unidades de A, y o número de unidades de B e z o número de unidades de C. Pelos dados do enunciado temos o sistema:
2x + 3y + 4z = 50 2x + 6y + 3z = 60

Passo 3

Para eliminar x, subtraímos a primeira equação da segunda:
(2x + 6y + 3z) - (2x + 3y + 4z) = 60 - 50
Isso dá
3y - z = 10 Longrightarrow z = 3y - 10
Substituindo z na primeira equação:
2x + 3y + 4(3y - 10) = 50
2x + 3y + 12y - 40 = 50
2x + 15y = 90 Longrightarrow x = 45 - 7,5y

Passo 4

Como x,y,z são números de unidades, eles devem ser inteiros e positivos. Para x = 45 - 7,5y ser inteiro, y deve ser múltiplo de 2, digamos y = 2k. Então:
x = 45 - 15k,
z = 3(2k) - 10 = 6k - 10
Impondo x>0, y>0 e z>0 obtemos 0 < k < 3, ou seja, k = 2. Assim:
x = 45 - 15cdot2 = 15,
y = 2cdot2 = 4,
z = 6cdot2 - 10 = 2

Resposta

15 unidades de A, 4 unidades de B e 2 unidades de C.

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