Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, o seguinte sistema de equações lineares: lx1+2 x2-3 x4+x5=2 x1+2 x2+x3-3 x4+x5+2 x6=3 x1+2 x2-3 x4+2 x5+x6=4 3 x1+6 x2+x3-9 x4+4 x5+3 x6=9

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares que precisa resolver usando o método de Gauss-Jordan. Esse método é uma técnica para resolver sistemas de equações transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida, facilitando a identificação das soluções. Vamos precisar reorganizar as equações em uma matriz e aplicar operações elementares para simplificar. Pronto? Então vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma única tabela.
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 & | & 3 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & | & 4 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & | & 9
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável, com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde cada linha tenha um “1” na diagonal e zeros abaixo e acima desse “1”. Começamos com o primeiro elemento (1,1) que já é 1. Vamos usar esse “1” para eliminar os outros números na primeira coluna.
Para a segunda linha, subtraímos a primeira linha dela:
Linha2 = Linha2 - Linha1:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & | & 4 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & | & 9

Passo 4

Continuando, vamos eliminar o 1 da terceira linha e o 3 da quarta linha na primeira coluna usando a primeira linha.
Para a terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha1:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & | & 9
Para a quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 3 \times Linha1:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & | & 3

Passo 5

Agora, observamos que na segunda coluna toda está zerada, então vamos focar na terceira coluna. Temos um 1 na posição (2,3). Vamos usar esse “1” para eliminar o 1 na quarta linha.
Para a quarta linha:
Linha4 = Linha4 - Linha2:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2

Passo 6

Perceba que a terceira e a quarta linhas são iguais agora. Isso significa que uma delas é redundante, ou seja, não acrescenta nova informação ao sistema. Podemos eliminar a quarta linha.
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2

Passo 7

Agora, vamos organizar a matriz para facilitar a resolução. Vamos assegurar que cada “1” esteja em sua própria coluna e que todos os outros elementos nessa coluna sejam zero.
A matriz já está quase nessa forma. Vamos reescrever as equações correspondentes:

Passo 8

Vamos resolver a partir das equações mais simples. Começamos pela terceira equação para achar em função de :

Passo 9

Agora, vamos para a segunda equação para encontrar :

Passo 10

Finalmente, substituímos na primeira equação para encontrar :
Simplificando:
Aqui, temos uma relação entre , , e , mas não conseguimos achar valores específicos para todas as variáveis, o que indica que o sistema tem infinitas soluções dependendo dos valores que escolhermos para algumas variáveis livres (como , e ).

Resposta

O sistema possui infinitas soluções expressas em termos das variáveis livres x1 = -2x2 + 3x4 + x6 x3 = 1 - 2x6 x5 = 2 - x6 x2, x4, x6 podem ser quaisquer números reais , e :
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