Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, o seguinte sistema de equações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares que precisa resolver usando o método de Gauss-Jordan. Esse método é uma técnica para resolver sistemas de equações transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida, facilitando a identificação das soluções. Vamos precisar reorganizar as equações em uma matriz e aplicar operações elementares para simplificar. Pronto? Então vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma única tabela.
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável, com a última coluna sendo os termos constantes.
Passo 3
Agora, o objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde cada linha tenha um “1” na diagonal e zeros abaixo e acima desse “1”. Começamos com o primeiro elemento (1,1) que já é 1. Vamos usar esse “1” para eliminar os outros números na primeira coluna.
Para a segunda linha, subtraímos a primeira linha dela:
Agora, observamos que na segunda coluna toda está zerada, então vamos focar na terceira coluna. Temos um 1 na posição (2,3). Vamos usar esse “1” para eliminar o 1 na quarta linha.
Perceba que a terceira e a quarta linhas são iguais agora. Isso significa que uma delas é redundante, ou seja, não acrescenta nova informação ao sistema. Podemos eliminar a quarta linha.
Agora, vamos organizar a matriz para facilitar a resolução. Vamos assegurar que cada “1” esteja em sua própria coluna e que todos os outros elementos nessa coluna sejam zero.
A matriz já está quase nessa forma. Vamos reescrever as equações correspondentes:
Passo 8
Vamos resolver a partir das equações mais simples. Começamos pela terceira equação para achar em função de :
Passo 9
Agora, vamos para a segunda equação para encontrar :
Passo 10
Finalmente, substituímos na primeira equação para encontrar :
Simplificando:
Aqui, temos uma relação entre , , e , mas não conseguimos achar valores específicos para todas as variáveis, o que indica que o sistema tem infinitas soluções dependendo dos valores que escolhermos para algumas variáveis livres (como , e ).
Resposta
O sistema possui infinitas soluções expressas em termos das variáveis livres x1 = -2x2 + 3x4 + x6 x3 = 1 - 2x6 x5 = 2 - x6 x2, x4, x6 podem ser quaisquer números reais , e :