Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
Passo 1
O enunciado pede: negar a sentença lógica dada. A sentença fornecida é
Informações que temos a partir do enunciado:
- Há dois quantificadores universais externos:
e . - O corpo da fórmula é uma implicação:
. - O objetivo é escrever uma fórmula logicamente equivalente que represente a negação dessa sentença inteira.
Passo 2
Regra 1: negação de quantificadores. É fundamental saber que
Intuição: negar “para todo” vira “existe algum” que viole a propriedade. Exemplo rápido: negar “todos os carros são vermelhos” é “existe um carro que não é vermelho”.
Regra 2: negação de implicação. Para qualquer fórmulas
e
vale
Intuição: a única forma de a implicação
ser falsa é quando
é verdadeira e
é falsa.
Regra 3: negação de disjunção. Para quaisquer
e
,
Intuição: “não (P ou Q)” significa “não P e não Q”.
Vou aplicar essas regras passo a passo à fórmula dada.
Passo 3
Negar os quantificadores externos usando a Regra 1. Começamos com
Pela equivalência
obtemos
Aplicando de novo a mesma regra ao quantificador em
dá
Passo 4
Negar a implicação usando a Regra 2. Tomando
como
e
como
, temos
Substituindo na linha anterior obtemos
Passo 5
Negar a disjunção no consequente usando a Regra 3. Temos
Portanto a negação completa fica
Passo 6
Interpretação e forma alternativa (opcional). A forma final acima é já uma negação correta e explícita. Se o domínio e as relações
e
forem as usuais em um conjunto ordenado (por exemplo números reais), pode-se usar a equivalência intuitiva
para reescrever:
Essa forma mostra que a negação exige encontrar dois elementos distintos que não são comparáveis por
em nenhum sentido — nas ordens usuais isso levaria a algo contraditório porque
e
implicam
, mas não se deve assumir isso sem especificar o domínio/relações. A forma segura e geral é a da Passo 5.