Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\forall x)(\forall y)(x \neq y \rightarrow((x>y) \vee(y>x)))

Passo 1

O enunciado pede: negar a sentença lógica dada. A sentença fornecida é
(\forall x)(\forall y)\bigl(x \neq y \rightarrow \bigl((x>y)\vee(y>x)\bigr)\bigr).
Informações que temos a partir do enunciado:
  • Há dois quantificadores universais externos: (\forall x) e (\forall y).
  • O corpo da fórmula é uma implicação: x \neq y \rightarrow ((x>y)\vee(y>x)).
  • O objetivo é escrever uma fórmula logicamente equivalente que represente a negação dessa sentença inteira.

Passo 2

Regra 1: negação de quantificadores. É fundamental saber que
\neg\bigl((\forall u)\,P(u)\bigr)\equiv(\exists u)\,\neg P(u) \qquad\text{e}\qquad \neg\bigl((\exists u)\,P(u)\bigr)\equiv(\forall u)\,\neg P(u).
Intuição: negar “para todo” vira “existe algum” que viole a propriedade. Exemplo rápido: negar “todos os carros são vermelhos” é “existe um carro que não é vermelho”.
Regra 2: negação de implicação. Para qualquer fórmulas A e B vale
\neg(A\rightarrow B)\equiv A\wedge\neg B.
Intuição: a única forma de a implicação A\rightarrow B ser falsa é quando A é verdadeira e B é falsa.
Regra 3: negação de disjunção. Para quaisquer P e Q,
\neg(P\vee Q)\equiv\neg P\wedge\neg Q.
Intuição: “não (P ou Q)” significa “não P e não Q”.
Vou aplicar essas regras passo a passo à fórmula dada.

Passo 3

Negar os quantificadores externos usando a Regra 1. Começamos com
\neg\Bigl((\forall x)(\forall y)\bigl(x \neq y \rightarrow ((x>y)\vee(y>x))\bigr)\Bigr).
Pela equivalência \neg(\forall x)\,F(x)\equiv(\exists x)\neg F(x) obtemos
(\exists x)\,\neg\Bigl((\forall y)\bigl(x \neq y \rightarrow ((x>y)\vee(y>x))\bigr)\Bigr).
Aplicando de novo a mesma regra ao quantificador em y
(\exists x)(\exists y)\,\neg\bigl(x \neq y \rightarrow ((x>y)\vee(y>x))\bigr).

Passo 4

Negar a implicação usando a Regra 2. Tomando A como x\neq y e B como (x>y)\vee(y>x), temos
\neg\bigl(x \neq y \rightarrow ((x>y)\vee(y>x))\bigr) \equiv (x\neq y)\wedge\neg\bigl((x>y)\vee(y>x)\bigr).
Substituindo na linha anterior obtemos
(\exists x)(\exists y)\bigl((x\neq y)\wedge\neg\bigl((x>y)\vee(y>x)\bigr)\bigr).

Passo 5

Negar a disjunção no consequente usando a Regra 3. Temos
\neg\bigl((x>y)\vee(y>x)\bigr)\equiv\neg(x>y)\wedge\neg(y>x).
Portanto a negação completa fica
(\exists x)(\exists y)\bigl((x\neq y)\wedge\neg(x>y)\wedge\neg(y>x)\bigr).

Passo 6

Interpretação e forma alternativa (opcional). A forma final acima é já uma negação correta e explícita. Se o domínio e as relações > e \le forem as usuais em um conjunto ordenado (por exemplo números reais), pode-se usar a equivalência intuitiva \neg(x>y)\equiv(x\le y) para reescrever:
(\exists x)(\exists y)\bigl((x\neq y)\wedge (x\le y)\wedge (y\le x)\bigr).
Essa forma mostra que a negação exige encontrar dois elementos distintos que não são comparáveis por > em nenhum sentido — nas ordens usuais isso levaria a algo contraditório porque x\le y e y\le x implicam x=y, mas não se deve assumir isso sem especificar o domínio/relações. A forma segura e geral é a da Passo 5.

Resposta

(\exists x)(\exists y)\bigl((x\neq y)\wedge\neg(x>y)\wedge\neg(y>x)\bigr)

Exercícios relacionados