Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\forall x)(\forall y)((\sqrt{x}>\sqrt{y}) \rightarrow(x>y))

Passo 1

O enunciado pede para negar a sentença lógica
(\forall x)(\forall y)\bigl((\sqrt{x}>\sqrt{y}) \rightarrow (x>y)\bigr).
Informações dadas/assumidas:
  • A sentença tem dois quantificadores universais sobre x e y.
  • A parte interna é uma implicação: antecedente P é \sqrt{x}>\sqrt{y} e consequente Q é x>y.
  • Como aparece \sqrt{x} e \sqrt{y}, vou assumir o domínio natural para essas expressões, isto é, x e y são números reais não negativos ( x,y\in\mathbb{R}_{\ge 0}).
  • O que se pede: escrever a negação lógica da sentença dada, passo a passo, sem resolver se a sentença original é verdadeira ou falsa (a negação deve ser formalmente correta).

Passo 2

Regra básica sobre quantificadores: a negação de um quantificador universal vira um quantificador existencial (e vice‑versa). Formalmente,
\neg\bigl((\forall x)\,\Phi(x)\bigr)\equiv(\exists x)\,\neg\Phi(x).
Aplicando isso duas vezes (uma para cada quantificador \forall), obtemos
\neg\Bigl((\forall x)(\forall y)\,\Psi(x,y)\Bigr)\equiv(\exists x)(\exists y)\,\neg\Psi(x,y),
onde \Psi(x,y) representa (\sqrt{x}>\sqrt{y})\rightarrow(x>y).

Passo 3

Regra de negação de uma implicação: uma implicação P\rightarrow Q é logicamente equivalente a \neg P \vee Q. Portanto a sua negação é
\neg\bigl(P\rightarrow Q\bigr)\equiv P\land\neg Q.
Aqui P é \sqrt{x}>\sqrt{y} e Q é x>y. Assim
\neg\bigl((\sqrt{x}>\sqrt{y})\rightarrow(x>y)\bigr)\equiv(\sqrt{x}>\sqrt{y})\land\neg(x>y).

Passo 4

Juntando o resultado do passo 2 com o do passo 3, a negação completa da frase original é
(\exists x)(\exists y)\Bigl((\sqrt{x}>\sqrt{y})\land\neg(x>y)\Bigr).
Podemos simplificar \neg(x>y) por x\le y. E lembrar o domínio x,y\in\mathbb{R}_{\ge 0}. Portanto uma forma final e clara é
(\exists x\in\mathbb{R}_{\ge 0})(\exists y\in\mathbb{R}_{\ge 0})\Bigl((\sqrt{x}>\sqrt{y})\land(x\le y)\Bigr).

Passo 5

Interpretação didática curta (para saber o que a negação significa): a negação afirma que existem x e y não negativos tais que \sqrt{x}>\sqrt{y} e, ao mesmo tempo, x\le y. Ou seja, a negação procura um contraexemplo à monotonicidade da raiz: um par (x,y) com raiz maior mas número não maior. (Não colocar nada mais aqui — isto é só entendimento do que a fórmula expressa.)

Resposta

(\exists x\in\mathbb{R}_{\ge 0})(\exists y\in\mathbb{R}_{\ge 0})\Bigl((\sqrt{x}>\sqrt{y})\land(x\le y)\Bigr)

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