Nessa questão, vamos encontrar um valor aproximado para raize. Para isso, siga os comandos abaixo:
Você considera que faz sentido usar a aproximação linear da função exponencial acima em a = 0 para encontrar o valor solicitado? Explique o porquê.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar raize, ou seja e^1/2, usando a aproximação linear (retângulo tangente) da função f(x)=e^x no ponto a=0 e depois discutir se isso faz sentido.

Passo 2

Para construir a aproximação linear de f(x) em a=0, lembramos que a fórmula geral é
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
Como f(x)=e^x, temos f(0)=e^0=1 e f'(x)=e^x, logo f'(0)=1. Substituindo em L(x) resulta
L(x)=1+1cdot(x-0)=1+x

Passo 3

Aplicando em x=tfrac12 (pois raiz e=e^1/2), obtemos
Ll(tfrac12r)=1+tfrac12=1,5

Passo 4

Para avaliar a qualidade, comparamos com o valor exato aproximado:
e^1/2approx1,6487,
de onde o erro absoluto é
|1,6487-1,5|approx0,1487
e o erro relativo é cerca de 9%.

Passo 5

Como x=0,5 não é tão próximo de a=0, o termo de ordem superior (erro de Taylor de ordem 2) não é desprezível. Logo, a aproximação linear em a=0 gera erro significativo e não é recomendável quando se deseja boa precisão.

Resposta

Não faz sentido usar a aproximação linear em a=0 para aproximar raiz e, pois em x=0,5 o erro (cerca de 9%) é muito grande para ser útil.

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