Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco
, de modo que a densidade de carga em
é
(medida em coulombs por metro quadrado).
i) Faça um esboço da região D.
ii) Determine a carga total no disco.
i) Faça um esboço da região D.
ii) Determine a carga total no disco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você recebeu um exercício que fala sobre distribuição de carga elétrica em um disco definido pela equação
. A densidade de carga nesse ponto
é dada por
coulombs por metro quadrado. Hoje, vamos desenhar essa região e calcular a carga total no disco. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região
. A equação
descreve todos os pontos
que estão a uma distância de até 1 unidade do ponto de origem (0,0). Isso forma um disco redondo com raio 1, centrado na origem do plano cartesiano.
Passo 3
Agora, vamos calcular a carga total no disco. A carga total
é dada pela integral dupla da densidade de carga sobre a região
:
Como a densidade de carga
, podemos simplificar isso usando coordenadas polares, onde
e
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Aqui,
vem da expressão para
e o outro
é do elemento de área
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
A carga total no disco é
coulombs.