Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco x^2+y^2 <= 1, de modo que a densidade de carga em (x, y) é sigma(x, y)=raizx^2+y^2 (medida em coulombs por metro quadrado).
i) Faça um esboço da região D.
ii) Determine a carga total no disco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você recebeu um exercício que fala sobre distribuição de carga elétrica em um disco definido pela equação . A densidade de carga nesse ponto é dada por coulombs por metro quadrado. Hoje, vamos desenhar essa região e calcular a carga total no disco. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região . A equação descreve todos os pontos que estão a uma distância de até 1 unidade do ponto de origem (0,0). Isso forma um disco redondo com raio 1, centrado na origem do plano cartesiano.

Passo 3

Agora, vamos calcular a carga total no disco. A carga total Q = integral duplaD sigma(x, y) , dA é dada pela integral dupla da densidade de carga sobre a região :
Como a densidade de carga , podemos simplificar isso usando coordenadas polares, onde e .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Q = integral0^2pi integral0^1 r cdot r , dr , dtheta
Aqui, vem da expressão para e o outro é do elemento de área .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Q = integral0^2pi 13 , dtheta = 13 cdot [ theta ]0^2pi = 13 cdot 2pi = 2pi3

Resposta

A carga total no disco é coulombs.

Exercícios relacionados