Nesse exercício, vamos revisitar alguns limites que já apareceram em listas anteriores. Como agora temos à disposição a noção de limites infinitos, podemos nos perguntar se limites que antes eram classificados como não existentes agora podem ser classificados como
ou
. Classifique os limites abaixo agora usando a noção generalizada que inclui
ou
como resposta.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre limites. A gente vai analisar três limites diferentes da função $ \frac{3x^{3} - 4x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2} $ quando $ x $ se aproxima de
. A matéria aqui envolve limites infinitos, ou seja, quando o valor da função tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $. Vamos precisar entender como essa função se comporta perto de $ x = -2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que acontece com o denominador quando $ x $ se aproxima de
. Calculando:
Substituindo $ x = -2 $:
Então, o denominador se anula em $ x = -2 $, o que significa que a função pode ter um comportamento de assíntota vertical nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador para ver melhor:
Isso mostra que $ x = -2 $ é onde o denominador é zero. Agora, vamos analisar o numerador:
Substituindo $ x = -2 $:
O numerador não é zero em $ x = -2 $, então temos uma forma $ \frac{constante}{0} $, o que indica que o limite tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $ dependendo do sinal.
Passo 4
Vamos analisar o sinal do denominador próximo a $ x = -2 $. O denominador $ (x + 2)(x - 1) $:
-
Para $ x $ se aproximando de
pela direita ($ x \rightarrow -2^{+} $): - $ x + 2 $ é positivo (já que $ x $ é um pouquinho maior que
) - $ x - 1 $ é negativo (pois $ x $ é menor que
) - Então, o denominador é negativo.
- $ x + 2 $ é positivo (já que $ x $ é um pouquinho maior que
-
Para $ x $ se aproximando de
pela esquerda ($ x \rightarrow -2^{-} $): - $ x + 2 $ é negativo (já que $ x $ é um pouquinho menor que
) - $ x - 1 $ é negativo
- Então, o denominador é positivo (negativo vezes negativo dá positivo).
- $ x + 2 $ é negativo (já que $ x $ é um pouquinho menor que
Passo 5
Como o numerador é
(uma constante negativa) e o denominador muda de sinal dependendo de como $ x $ se aproxima de
:
-
Para $ x \rightarrow -2^{+} $:
- Numerador negativo / Denominador negativo = positivo
- Então, o limite tende para $ +\infty $.
-
Para $ x \rightarrow -2^{-} $:
- Numerador negativo / Denominador positivo = negativo
- Então, o limite tende para $ -\infty $.
Passo 6
Agora, vamos ver o limite quando $ x $ se aproxima de
sem especificar a direção. Como os limites laterais são diferentes (um vai para $ +\infty $ e o outro para $ -\infty $), o limite geral não existe mesmo na forma extendida.