Nesse exercício, vamos revisitar alguns limites que já apareceram em listas anteriores. Como agora temos à disposição a noção de limites infinitos, podemos nos perguntar se limites que antes eram classificados como não existentes agora podem ser classificados como -infty ou +infty. Classifique os limites abaixo agora usando a noção generalizada que inclui -infty ou +infty como resposta.
lim x -2^+ 3 x^3-4 x^2+x-1x^2+x-2, lim x -2^- 3 x^3-4 x^2+x-1x^2+x-2 e lim x -2 3 x^3-4 x^2+x-1x^2+x-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre limites. A gente vai analisar três limites diferentes da função $ \frac{3x^{3} - 4x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2} $ quando $ x $ se aproxima de 3x^3 - 4x^2 + x - 1x^2 + x - 2 . A matéria aqui envolve limites infinitos, ou seja, quando o valor da função tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $. Vamos precisar entender como essa função se comporta perto de $ x = -2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com o denominador quando $ x $ se aproxima de x . Calculando:
-2
Substituindo $ x = -2 $:
x^2 + x - 2
Então, o denominador se anula em $ x = -2 $, o que significa que a função pode ter um comportamento de assíntota vertical nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador para ver melhor:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Isso mostra que $ x = -2 $ é onde o denominador é zero. Agora, vamos analisar o numerador:
x = -2
Substituindo $ x = -2 $:
3x^3 - 4x^2 + x - 1
O numerador não é zero em $ x = -2 $, então temos uma forma $ \frac{constante}{0} $, o que indica que o limite tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $ dependendo do sinal.

Passo 4

Vamos analisar o sinal do denominador próximo a $ x = -2 $. O denominador $ (x + 2)(x - 1) $:
  • Para $ x $ se aproximando de x = -2 pela direita ($ x \rightarrow -2^{+} $):
    • $ x + 2 $ é positivo (já que $ x $ é um pouquinho maior que (x + 2)(x - 1) )
    • $ x - 1 $ é negativo (pois $ x $ é menor que x )
    • Então, o denominador é negativo.
  • Para $ x $ se aproximando de -2 pela esquerda ($ x \rightarrow -2^{-} $):
    • $ x + 2 $ é negativo (já que $ x $ é um pouquinho menor que x -2^+ )
    • $ x - 1 $ é negativo
    • Então, o denominador é positivo (negativo vezes negativo dá positivo).

Passo 5

Como o numerador é -43 (uma constante negativa) e o denominador muda de sinal dependendo de como $ x $ se aproxima de x :
  • Para $ x \rightarrow -2^{+} $:
    • Numerador negativo / Denominador negativo = positivo
    • Então, o limite tende para $ +\infty $.
  • Para $ x \rightarrow -2^{-} $:
    • Numerador negativo / Denominador positivo = negativo
    • Então, o limite tende para $ -\infty $.

Passo 6

Agora, vamos ver o limite quando $ x $ se aproxima de x sem especificar a direção. Como os limites laterais são diferentes (um vai para $ +\infty $ e o outro para $ -\infty $), o limite geral não existe mesmo na forma extendida.

Resposta

lim x -2^+ 3 x^3-4 x^2+x-1x^2+x-2 = +infty
lim x -2^- 3 x^3-4 x^2+x-1x^2+x-2 = -infty
lim x -2 3 x^3-4 x^2+x-1x^2+x-2 não existe ã

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