Nesta atividade, os números d1 a d8 representam os oito primeiros digitos da sua matrícula. Por exemplo, o aluno com matrícula 87654321 usará d1=8, d2=7. d3=6, d4=5, d5=4, d6=3, d7=2 e d8=1. Em cada questāo, antes de resolver, substitua os valores de d1 a d8.
2. Guestōes sem as suas justificativas não serâo consideradas.
Exercicio 1 Dada a função polinomial de segundo grau f(x)=a x^2+b x+c, aplique um método de fatoração adequado para reescrever a função na forma fatorada f(x)= a(x-r1)(x-r2), onde r1 e r2 são as raizes da equação a x^2+b x+c=0.
f(x)=x^2+2(d8+1) x+(d8)^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fatorar uma função polinomial de segundo grau, ou seja, uma equação da forma f(x) = a x^2 + b x + c. Para isso, vamos usar os dígitos da nossa matrícula, especificamente o dígito d8. No exemplo que a gente tem, a matrícula é 87654321, então d8 = 1. Vamos substituir esse valor na função e depois fatorar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir d8 = 1 na função dada:
f(x) = x^2 + 2(d8 + 1)x + (d8)^2 + 1
Substituindo d8:
f(x) = x^2 + 2(1 + 1)x + 1^2 + 1 = x^2 + 4x + 2
Então, a função que precisamos fatorar é f(x) = x^2 + 4x + 2.

Passo 3

Agora, vamos fatorar a função f(x) = x^2 + 4x + 2. Para fatorar uma equação quadrática, queremos escrevê-la na forma f(x) = a(x - r1)(x - r2), onde r1 e r2 são as raízes da equação.
Como essa função não parece fatorar facilmente com números inteiros, vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes r1 e r2.

Passo 4

A fórmula de Bhaskara é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Na nossa equação f(x) = x^2 + 4x + 2, os coeficientes são:
  • a = 1
  • b = 4
  • c = 2
Vamos calcular o discriminante ( De):
De

Passo 5

Com o discriminante calculado, podemos encontrar as raízes:
r1 = -4 + raiz8 2 cdot 1 = -4 + 2raiz2 2 = -2 + raiz2
r2 = -4 - raiz8 2 cdot 1 = -4 - 2raiz2 2 = -2 - raiz2

Passo 6

Agora que temos as raízes r1 = -2 + raiz2 e r2 = -2 - raiz2, podemos escrever a forma fatorada da função:
f(x) = 1 cdot (x - r1)(x - r2) = (x - (-2 + raiz2))(x - (-2 - raiz2))
Simplificando os sinais:
f(x) = (x + 2 - raiz2)(x + 2 + raiz2)

Resposta

A forma fatorada da função é:
f(x) = (x + 2 - raiz2)(x + 2 + raiz2)

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