Resolva, em
, as equações exponenciais:
a)
a)
Passo 1
O problema é resolver em ℝ a equação exponencial
a) 3 \cdot 2^{x} - 5 \cdot 2^{x+1} + 5 \cdot 2^{x+3} - 2^{x+5} = 2
Usaremos propriedades de potências (como 2^{x+a} = 2x·2a) e fatoração para simplificar.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos cada termo em função de 2^x e fatoramos esse termo em comum:
[
3\cdot 2^x - 5\cdot 2^{x+1} + 5\cdot 2^{x+3} - 2^{x+5}
= 2^x\bigl(3 - 5\cdot 2 + 5\cdot 2^3 - 2^5\bigr).
3\cdot 2^x - 5\cdot 2^{x+1} + 5\cdot 2^{x+3} - 2^{x+5}
= 2^x\bigl(3 - 5\cdot 2 + 5\cdot 2^3 - 2^5\bigr).
Passo 3
Agora, calculamos o valor do parêntese:
3 - 5·2 + 5·2^3 - 2^5 = 3 - 10 + 40 - 32 = 1
Logo, o lado esquerdo vira simplesmente 2^x.
Passo 4
A equação fica então
2^x = 2
e, aplicando logaritmo ou reconhecendo que 2 = 2^1, temos x = 1.
Resposta
x = 1