Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
Compacidade;
Interior vazio;
Medida de Lebesgue nula;
Perfeição;
Não enumerabilidade.
Perfeição: Prove que o Conjunto de Cantor C é um conjunto perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor C é um conjunto perfeito. Por definição, um conjunto é perfeito se satisfaz duas condições:
É fechado.
Todo ponto do conjunto é ponto de acumulação (ou seja, não há pontos isolados).
Vamos usar o fato de que
C \;=\;\bigcap_{n=0}^{\infty}C_n,
onde cada C_n é fechado, e também a representação ternária dos pontos de C (só aparecem os dígitos 0 e 2).
Passo 2
Mostramos que C é fechado. Cada C_n é obtido retirando-se aberturas de \bigl[0,1\bigr], logo C_n é união finita de segmentos fechados e, portanto, é fechado. A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada. Concluímos que
C = \bigcap_{n=0}^{\infty}C_n
é fechado.
Passo 3
Mostramos que não há pontos isolados em C\). Seja \(x\in C\) e seja \(\varepsilon>0\). Como \(x\in C\), existe uma expansão ternária
\[x = 0.a_1a_2a_3\ldots_3,
com cada a_i\in\{0,2\}. Escolha um inteiro k tal que
3^{1-k} < \varepsilon.
Agora definimos outro ponto y em C alterando o dígito na posição k: