Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
  • Compacidade;
  • Interior vazio;
  • Medida de Lebesgue nula;
  • Perfeição;
  • Não enumerabilidade.
  1. Perfeição: Prove que o Conjunto de Cantor C é um conjunto perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor C é um conjunto perfeito. Por definição, um conjunto é perfeito se satisfaz duas condições:
  1. É fechado.
  2. Todo ponto do conjunto é ponto de acumulação (ou seja, não há pontos isolados).
    Vamos usar o fato de que
C \;=\;\bigcap_{n=0}^{\infty}C_n,
onde cada C_n é fechado, e também a representação ternária dos pontos de C (só aparecem os dígitos 0 e 2).

Passo 2

Mostramos que C é fechado. Cada C_n é obtido retirando-se aberturas de \bigl[0,1\bigr], logo C_n é união finita de segmentos fechados e, portanto, é fechado. A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada. Concluímos que
C = \bigcap_{n=0}^{\infty}C_n
é fechado.

Passo 3

Mostramos que não há pontos isolados em C\). Seja \(x\in C\) e seja \(\varepsilon>0\). Como \(x\in C\), existe uma expansão ternária \[x = 0.a_1a_2a_3\ldots_3,
com cada a_i\in\{0,2\}. Escolha um inteiro k tal que
3^{1-k} < \varepsilon.
Agora definimos outro ponto y em C alterando o dígito na posição k:
  • Para i<k, ponha \beta_i = a_i.
  • Para i=k, ponha \beta_k = \begin{cases} 2, & \text{se }a_k=0,\\\\ 0, & \text{se }a_k=2. \end{cases}
  • Para i>k\], ponha \(\beta_i = a_i.
Então
y = 0.\beta_1\beta_2\cdots_3
também só usa dígitos em \{0,2\}, logo y\in C. Além disso, y\neq x e
|y - x| \le \sum_{n=k}^{\infty}2\cdot 3^{-n} = 2\cdot \frac{3^{-k}}{1-\tfrac13} =3^{1-k} < \varepsilon.
Isso mostra que em qualquer vizinhança de x há outro ponto y\in C, isto é, x não é isolado.

Passo 4

Como C é fechado (Passo 2) e todo x\in C é ponto de acumulação (Passo 3), concluímos que C é perfeito.

Resposta

O Conjunto de Cantor C é perfeito porque é fechado e não possui pontos isolados.

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