Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
- Compacidade;
- Interior vazio;
- Medida de Lebesgue nula;
- Perfeição;
- Não enumerabilidade.
- Medida de Lebesgue nula: Usando a definição fornecida acima, demonstre que o Conjunto de Cantor
tem medida de Lebesgue zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor
tem medida de Lebesgue zero. O conteúdo é teoria da medida de Lebesgue e vamos usar a construção clássica em etapas (conjuntos
) e o fato de que
para todo
, onde
é a medida de Lebesgue.
Passo 2
Lembrando a construção: definimos
e, em cada etapa, retiramos o terço aberto central de cada intervalo. Após
etapas, sobra um conjunto
formado por
intervalos de comprimento
cada um. Como
, temos
Passo 3
Calculamos a medida de Lebesgue de
. São
intervalos de comprimento
, então
Passo 4
Como
, ao fazermos
obtemos
Da desigualdade
segue
logo
.
Resposta
A medida de Lebesgue do Conjunto de Cantor
é zero.