Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
  • Compacidade;
  • Interior vazio;
  • Medida de Lebesgue nula;
  • Perfeição;
  • Não enumerabilidade.
  1. Medida de Lebesgue nula: Usando a definição fornecida acima, demonstre que o Conjunto de Cantor C tem medida de Lebesgue zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor C tem medida de Lebesgue zero. O conteúdo é teoria da medida de Lebesgue e vamos usar a construção clássica em etapas (conjuntos C_n) e o fato de que
m\bigl(C\bigr)\le m\bigl(C_n\bigr)
para todo n, onde m é a medida de Lebesgue.

Passo 2

Lembrando a construção: definimos C_0=[0,1] e, em cada etapa, retiramos o terço aberto central de cada intervalo. Após n etapas, sobra um conjunto C_n formado por 2^n intervalos de comprimento 3^{-n} cada um. Como C\subset C_n, temos
m\bigl(C\bigr)\le m\bigl(C_n\bigr).

Passo 3

Calculamos a medida de Lebesgue de C_n. São 2^n intervalos de comprimento 3^{-n}, então
m\bigl(C_n\bigr) =2^n\cdot 3^{-n} =\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 4

Como \tfrac{2}{3}<1, ao fazermos n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}m\bigl(C_n\bigr) =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n =0.
Da desigualdade m\text{(C)}\le m(C_n) segue
0\le m\text{(C)}\le\lim_{n\to\infty}m(C_n)=0,
logo m\text{(C)}=0.

Resposta

A medida de Lebesgue do Conjunto de Cantor C é zero.

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