Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
  • Compacidade;
  • Interior vazio;
  • Medida de Lebesgue nula;
  • Perfeição;
  • Não enumerabilidade.
  1. Interior vazio: Mostre que o Conjunto de Cantor C não possui pontos interiores, isto é, seu interior é vazio.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor C não possui pontos interiores, ou seja, \mathrm{int}\text{(C)}=\emptyset. Vamos usar a construção de C como interseção de conjuntos C_n, cada um formado por 2^n intervalos fechados de comprimento 3^{-n}.

Passo 2

Definimos C_0=[0,1] e, para cada n\ge0, obtemos C_{n+1} removendo de cada intervalo de C_n o seu terço médio aberto. Assim cada C_n é união de 2^n intervalos fechados, cada um de comprimento 3^{-n}, e satisfaz
C = \bigcap_{n=0}^\infty C_n.

Passo 3

Seja x\in C e tome qualquer r>0. Considere a vizinhança aberta
I=(x-r,\;x+r).
Escolha N tal que
3^{-N} < r.
Como cada componente conectado de C_N tem comprimento exatamente 3^{-N}, o comprimento de I é 2r>3^{-N}, então I não pode estar contido em um único componente de C_N. Logo I intercepta algum dos intervalos abertos removidos no passo N, isto é,
I \cap \bigl([0,1]\setminus C_N\bigr)\neq\emptyset.
Como [0,1]\setminus C_N\subset[0,1]\setminus C, temos
I\cap\bigl([0,1]\setminus C\bigr)\neq\emptyset,
o que mostra que nenhum x\in C é ponto interior.

Resposta

\mathrm{int}\text{(C)}=\emptyset

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