Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
- Compacidade;
- Interior vazio;
- Medida de Lebesgue nula;
- Perfeição;
- Não enumerabilidade.
- Interior vazio: Mostre que o Conjunto de Cantor
não possui pontos interiores, isto é, seu interior é vazio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor
não possui pontos interiores, ou seja,
. Vamos usar a construção de
como interseção de conjuntos
, cada um formado por
intervalos fechados de comprimento
.
Passo 2
Definimos
e, para cada
, obtemos
removendo de cada intervalo de
o seu terço médio aberto. Assim cada
é união de
intervalos fechados, cada um de comprimento
, e satisfaz
Passo 3
Seja
e tome qualquer
. Considere a vizinhança aberta
Escolha
tal que
Como cada componente conectado de
tem comprimento exatamente
, o comprimento de
é
, então
não pode estar contido em um único componente de
. Logo
intercepta algum dos intervalos abertos removidos no passo
, isto é,
Como
, temos
o que mostra que nenhum
é ponto interior.