Nesta questão, descreva um espaço de probabilidade adequado ao experimento e o evento envolvido no problema.
Um ônibus parte com 6 pessoas e para em 10 pontos diferentes. Supondo que os passageiros têm igual probabilidade de saltar em qualquer parada, determine a probabilidade de que dois passageiros não desembarquem na mesma parada.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a probabilidade de que dois passageiros não desembarquem na mesma parada (ou seja, que todos os 6 passageiros desembarquem em paradas distintas).
Informações dadas:
  • 6 passageiros no ônibus.
  • 10 pontos (paradas) distintos onde cada passageiro pode saltar.
  • Cada passageiro tem igual probabilidade de saltar em qualquer parada, e as escolhas são independentes entre os passageiros.

Passo 2

Definir um espaço de probabilidade adequado (descrição e contagem).
Descrição do espaço amostral \Omega:
  • Um resultado elementar pode ser representado por uma sequência (s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6) onde s_i\in\{1,2,\dots,10\} indica a parada em que o i-ésimo passageiro desembarca.
  • Como cada passageiro pode escolher qualquer uma das 10 paradas, e as escolhas são independentes, o número total de resultados possíveis é
|\Omega|=10^6.
Medida de probabilidade:
  • Como o enunciado diz “igual probabilidade” para cada parada e independência, atribuímos probabilidade uniforme aos elementos de \Omega: cada sequência tem probabilidade
\mathbb{P}(\text{cada sequência})=\frac{1}{10^6}.ê

Passo 3

Definir o evento desejado e pensar em como contá-lo.
Evento A: “nenhum par de passageiros desembarca na mesma parada”, isto é, todos os 6 s_i são distintos.
Para contar |A| (número de sequências em que as 6 paradas escolhidas são todas diferentes) usamos o princípio multiplicativo (princípio fundamental da contagem): para o primeiro passageiro há 10 opções, para o segundo, para que seja diferente do primeiro, há 9 opções, para o terceiro há 8, e assim por diante até o sexto.

Passo 4

Contagem explícita dos resultados favoráveis.
Pela regra acima, o número de resultados favoráveis é a permutação de 10 elementos tomados 6 a 6, que escrevemos como P(10,6) ou \dfrac{10!}{(10-6)!}. Em produto:
|A|=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5.
Calcule passo a passo:
10\cdot 9=90,
90\cdot 8=720,
720\cdot 7=5040,
5040\cdot 6=30240,
30240\cdot 5=151200.
Logo
|A|=151200.

Passo 5

Cálculo da probabilidade do evento A.
Pela definição de probabilidade uniforme no espaço finito,
\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{151200}{10^6}.
Simplificando a fração:
\frac{151200}{10^6}=\frac{1512}{10^4}=\frac{189}{1250}.
Também é possível expressar como decimal:
\frac{189}{1250}=0{,}1512.

Passo 6

Interpretação e nota final (dica para prova).
  • Forma simbólica útil para lembrar: \mathbb{P}(A)=\dfrac{P(10,6)}{10^6}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5}{10^6}.
  • Ideia-chave para a prova: modelar outcomes como tuplas ordenadas (cada passageiro é um componente), usar contagem por princípio multiplicativo e dividir pelo total 10^6 quando os resultados são equiprováveis.

Resposta

\dfrac{189}{1250} = 0{,}1512

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