Nesta questão, descreva um espaço de probabilidade adequado ao experimento e o evento envolvido no problema.
Um ônibus parte com 6 pessoas e para em 10 pontos diferentes. Supondo que os passageiros têm igual probabilidade de saltar em qualquer parada, determine a probabilidade de que dois passageiros não desembarquem na mesma parada.
Um ônibus parte com 6 pessoas e para em 10 pontos diferentes. Supondo que os passageiros têm igual probabilidade de saltar em qualquer parada, determine a probabilidade de que dois passageiros não desembarquem na mesma parada.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a probabilidade de que dois passageiros não desembarquem na mesma parada (ou seja, que todos os 6 passageiros desembarquem em paradas distintas).
Informações dadas:
- Há
passageiros no ônibus. - Há
pontos (paradas) distintos onde cada passageiro pode saltar. - Cada passageiro tem igual probabilidade de saltar em qualquer parada, e as escolhas são independentes entre os passageiros.
Passo 2
Definir um espaço de probabilidade adequado (descrição e contagem).
Descrição do espaço amostral
:
- Um resultado elementar pode ser representado por uma sequência
onde indica a parada em que o -ésimo passageiro desembarca. - Como cada passageiro pode escolher qualquer uma das
paradas, e as escolhas são independentes, o número total de resultados possíveis é
Medida de probabilidade:
- Como o enunciado diz “igual probabilidade” para cada parada e independência, atribuímos probabilidade uniforme aos elementos de
: cada sequência tem probabilidade
Passo 3
Definir o evento desejado e pensar em como contá-lo.
Evento
: “nenhum par de passageiros desembarca na mesma parada”, isto é, todos os
são distintos.
Para contar
(número de sequências em que as
paradas escolhidas são todas diferentes) usamos o princípio multiplicativo (princípio fundamental da contagem): para o primeiro passageiro há
opções, para o segundo, para que seja diferente do primeiro, há
opções, para o terceiro há
, e assim por diante até o sexto.
Passo 4
Contagem explícita dos resultados favoráveis.
Pela regra acima, o número de resultados favoráveis é a permutação de
elementos tomados
a
, que escrevemos como
ou
. Em produto:
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 5
Cálculo da probabilidade do evento
.
Pela definição de probabilidade uniforme no espaço finito,
Simplificando a fração:
Também é possível expressar como decimal:
Passo 6
Interpretação e nota final (dica para prova).
- Forma simbólica útil para lembrar:
. - Ideia-chave para a prova: modelar outcomes como tuplas ordenadas (cada passageiro é um componente), usar contagem por princípio multiplicativo e dividir pelo total
quando os resultados são equiprováveis.