Supondo que se distribui n bolas em n caixas.
a) Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
b) Dado que a caixa 1 está vazia, qual a probabilidade de que somente uma caixa esteja vazia?
c) Dado que somente uma caixa está vazia, qual a probabilidade de que a caixa 1 esteja vazia.

Passo 1

O enunciado diz: “Supondo que se distribui n bolas em n caixas.” Vou explicitar a interpretação que vou usar (uma suposição natural e padrão para este tipo de problema): cada bola é distinguível (rotulada) e, de forma aleatória e independente, cada bola vai para uma das n caixas, todas as caixas tendo igual probabilidade para cada bola. Assim, todas as funções dos n bolas para as n caixas são igualmente prováveis.
As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
b) Dado que a caixa 1 está vazia, qual a probabilidade de que somente uma caixa esteja vazia?
c) Dado que somente uma caixa está vazia, qual a probabilidade de que a caixa 1 esteja vazia?
Informações relevantes que estão no enunciado / que eu uso:
  • n bolas numeradas (distinguíveis) e n caixas numeradas (rotuladas).
  • Cada bola escolhe uma caixa dentre as n com igual probabilidade, independentemente das outras.
  • O espaço amostral (número total de distribuições possíveis) será portanto o número de funções de um conjunto de n elementos em um conjunto de n elementos, ou seja n^n.
    A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Contar o número total de distribuições possíveis (tamanho do espaço amostral).
Cada bola tem n escolhas (caixas) independentes; para n bolas são \,n\cdot n\cdot\ldots\cdot n = n^n distribuições possíveis. Em notação:
\text{Total de resultados possíveis} = n^n.í
Explicação didática: pensar em cada bola como uma função que aponta para uma caixa; existem n imagens possíveis para cada uma das n bolas, portanto n^n funções.

Passo 3

Resolver (a): contar as distribuições em que exatamente uma caixa está vazia. Estratégia de contagem passo a passo (sem pular etapas).
  1. Primeiro escolho qual caixa será a vazia: \,n escolhas. Denotar a caixa vazia escolhida.
  2. Restam n-1 caixas que devem receber todas as n bolas, e nenhuma dessas n-1 caixas pode ficar vazia (porque queremos exatamente uma vazia). Então temos que distribuir n bolas em n-1 caixas, todas não vazias. Vamos entender como isso é possível: como cada caixa não vazia precisa ter pelo menos 1 bola, a soma das ocupações mínimas seria (n-1)\cdot 1 = n-1. Como temos n bolas, sobra exatamente 1 bola a mais para distribuir; portanto a única configuração de ocupações possível é: uma das n-1 caixas recebe 2 bolas e as outras n-2 caixas recebem 1 bola cada. (Este é um ponto importante: com n bolas e n-1 caixas não vazias, obrigatoriamente ocorre exatamente um “par” e o resto solteiros.)
  3. Contar quantas maneiras realizam essa configuração:
    • Escolher qual das n-1 caixas (entre as não vazias) será a que contém as 2 bolas: (n-1) escolhas.
    • Escolher quais são as 2 bolas que ficarão juntas nessa caixa: \displaystyle \binom{n}{2} escolhas (escolher 2 das n bolas).
    • As n-2 bolas restantes devem ir, uma por caixa, para as n-2 caixas restantes; como as bolas e as caixas são rotuladas, isso é uma bijeção entre n-2 bolas e n-2 caixas, que pode ser feita de (n-2)! maneiras.
  4. Multiplico todas as escolhas (regra do produto) e também multiplico pela escolha inicial da caixa vazia ( n). Assim o número de distribuições com exatamente uma caixa vazia é
\text{Favorable}_a = n \cdot (n-1) \cdot \binom{n}{2} \cdot (n-2)!.
  1. Simplificação dessa expressão para ficar mais elegante: note que (n-1)\cdot (n-2)! = (n-1)!. Portanto
\text{Favorable}_a = n \cdot (n-1)! \cdot \binom{n}{2} = n! \cdot \binom{n}{2}.
(Verificação intuitiva: escolher a caixa vazia e escolher a partição das bolas corresponde também a contar com números fatoriais e binomiais como acima.)
6) Finalmente, a probabilidade pedida em (a) é o número favorável dividido pelo total n^n:
\boxed{\;P(\text{exatamente 1 caixa vazia}) = \dfrac{n!\,\binom{n}{2}}{n^n}\; }.
Explicação da fórmula: \binom{n}{2} conta qual par de bolas fica junta, n! reúne as permutações relacionadas à escolha da caixa vazia e à atribuição dos singles; o denominador n^n normaliza sobre todas as distribuições possíveis.

Passo 4

Breve exemplo numérico (para sentir a fórmula): se n=3, então \binom{3}{2}=3 e n!=6, portanto favoráveis =6\cdot3=18 e total =3^3=27, logo P=18/27=2/3. Verificando com pensamento direto: com 3 bolas e 3 caixas, “exatamente uma caixa vazia” significa que uma caixa tem 2 bolas e outra tem 1 bola — é relativamente comum, fazendo sentido o valor 2/3.

Passo 5

Resolver (b): probabilidade condicional dada que a caixa 1 está vazia de que somente uma caixa esteja vazia.
  1. Condicionando em “caixa 1 vazia” o espaço amostral se reduz às distribuições em que nenhuma bola foi para a caixa 1. Cada bola agora tem n-1 opções (as caixas 2,\dots,n), independentes, então o número de distribuições possíveis sob essa condição é
\text{Total condicional} = (n-1)^n.
  1. Entre essas distribuições (com caixa 1 vazia), queremos que nenhuma das outras caixas fique vazia — ou seja, as n bolas devem ocupar as n-1 caixas restantes, todas não vazias. Esse é exatamente o mesmo tipo de conta que fizemos no passo anterior para “todas não vazias” (com n-1 caixas): o número de distribuições em que as n-1 caixas recebem todas as bolas e nenhuma está vazia é (conforme contagem do Passo 3 sem multiplicar por n para a caixa vazia):
\text{Favorable condicional} = (n-1) \cdot \binom{n}{2} \cdot (n-2)! = (n-1)! \cdot \binom{n}{2}.
(Justificação: escolher qual das n-1 caixas terá as 2 bolas, escolher quais 2 bolas, e permutar o restante.)
3) A probabilidade condicional pedida é então
\boxed{\;P(\text{só 1 caixa vazia} \mid \text{caixa }1\text{ vazia}) = \dfrac{(n-1)!\,\binom{n}{2}}{(n-1)^n}\; }.ó
Comentário didático: aqui o denominador (n-1)^n é o novo espaço amostral após saber que a caixa 1 está vazia; o numerador conta as distribuições em que, além da caixa 1 estar vazia, nenhuma outra caixa está vazia.

Passo 6

Resolver (c): probabilidade de que a caixa 1 seja a vazia dado que somente uma caixa está vazia. Duas maneiras de ver: por simetria ou por fórmula de Bayes (contagem). Vou mostrar ambas para fixar bem a ideia.
Método 1 — simetria: se sabe que exatamente uma caixa está vazia, todas as n caixas são simétricas (rotuladas porém sem informação preferencial), logo a probabilidade de que a vazia seja a caixa 1 é 1/n. Isso é intuitivo e correto.
Método 2 — contagem/Bayes (para ver que dá mesmo 1/n):
  • P(\text{exatamente 1 vazia}) do Passo 3 é \dfrac{n!\,\binom{n}{2}}{n^n}.
  • P(\text{caixa }1\text{ vazia e exatamente 1 vazia}) é o número de distribuições onde caixa 1 está vazia e nenhuma outra está vazia, dividido por n^n. Esse número favorável já calculamos no Passo 5: (n-1)!\,\binom{n}{2}. Então
P(\text{caixa }1\text{ vazia e exatamente 1 vazia})=\dfrac{(n-1)!\,\binom{n}{2}}{n^n}.
  • Aplicando a definição de probabilidade condicional:
P(\text{caixa }1\text{ vazia} \mid \text{exatamente 1 vazia}) = \dfrac{\dfrac{(n-1)!\,\binom{n}{2}}{n^n}}{\dfrac{n!\,\binom{n}{2}}{n^n}} = \dfrac{(n-1)!}{n!} = \dfrac{1}{n}.
Portanto confirmamos por contagem que o resultado é \,1/n.

Resposta

(a) \dfrac{n!\,\binom{n}{2}}{n^n}
(b) \dfrac{(n-1)!\,\binom{n}{2}}{(n-1)^n}
(c) \dfrac{1}{n}

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