Supondo que se distribui
bolas em
caixas.
a) Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
b) Dado que a caixa 1 está vazia, qual a probabilidade de que somente uma caixa esteja vazia?
c) Dado que somente uma caixa está vazia, qual a probabilidade de que a caixa 1 esteja vazia.
a) Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
b) Dado que a caixa 1 está vazia, qual a probabilidade de que somente uma caixa esteja vazia?
c) Dado que somente uma caixa está vazia, qual a probabilidade de que a caixa 1 esteja vazia.
Passo 1
O enunciado diz: “Supondo que se distribui
bolas em
caixas.” Vou explicitar a interpretação que vou usar (uma suposição natural e padrão para este tipo de problema): cada bola é distinguível (rotulada) e, de forma aleatória e independente, cada bola vai para uma das
caixas, todas as caixas tendo igual probabilidade para cada bola. Assim, todas as funções dos
bolas para as
caixas são igualmente prováveis.
As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
b) Dado que a caixa está vazia, qual a probabilidade de que somente uma caixa esteja vazia?
c) Dado que somente uma caixa está vazia, qual a probabilidade de que a caixa esteja vazia?
As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
b) Dado que a caixa
c) Dado que somente uma caixa está vazia, qual a probabilidade de que a caixa
Informações relevantes que estão no enunciado / que eu uso:
- Há
bolas numeradas (distinguíveis) e caixas numeradas (rotuladas). - Cada bola escolhe uma caixa dentre as
com igual probabilidade, independentemente das outras. - O espaço amostral (número total de distribuições possíveis) será portanto o número de funções de um conjunto de
elementos em um conjunto de elementos, ou seja .
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Contar o número total de distribuições possíveis (tamanho do espaço amostral).
Cada bola tem escolhas (caixas) independentes; para
bolas são
distribuições possíveis. Em notação:
Cada bola tem
Explicação didática: pensar em cada bola como uma função que aponta para uma caixa; existem
imagens possíveis para cada uma das
bolas, portanto
funções.
Passo 3
Resolver (a): contar as distribuições em que exatamente uma caixa está vazia. Estratégia de contagem passo a passo (sem pular etapas).
- Primeiro escolho qual caixa será a vazia:
escolhas. Denotar a caixa vazia escolhida. - Restam
caixas que devem receber todas as bolas, e nenhuma dessas caixas pode ficar vazia (porque queremos exatamente uma vazia). Então temos que distribuir bolas em caixas, todas não vazias. Vamos entender como isso é possível: como cada caixa não vazia precisa ter pelo menos 1 bola, a soma das ocupações mínimas seria . Como temos bolas, sobra exatamente bola a mais para distribuir; portanto a única configuração de ocupações possível é: uma das caixas recebe bolas e as outras caixas recebem bola cada. (Este é um ponto importante: com bolas e caixas não vazias, obrigatoriamente ocorre exatamente um “par” e o resto solteiros.) - Contar quantas maneiras realizam essa configuração:
- Escolher qual das
caixas (entre as não vazias) será a que contém as bolas: escolhas. - Escolher quais são as
bolas que ficarão juntas nessa caixa: escolhas (escolher 2 das bolas). - As
bolas restantes devem ir, uma por caixa, para as caixas restantes; como as bolas e as caixas são rotuladas, isso é uma bijeção entre bolas e caixas, que pode ser feita de maneiras.
- Escolher qual das
- Multiplico todas as escolhas (regra do produto) e também multiplico pela escolha inicial da caixa vazia (
). Assim o número de distribuições com exatamente uma caixa vazia é
- Simplificação dessa expressão para ficar mais elegante: note que
. Portanto
(Verificação intuitiva: escolher a caixa vazia e escolher a partição das bolas corresponde também a contar com números fatoriais e binomiais como acima.)
6) Finalmente, a probabilidade pedida em (a) é o número favorável dividido pelo total :
6) Finalmente, a probabilidade pedida em (a) é o número favorável dividido pelo total
Explicação da fórmula:
conta qual par de bolas fica junta,
reúne as permutações relacionadas à escolha da caixa vazia e à atribuição dos singles; o denominador
normaliza sobre todas as distribuições possíveis.
Passo 4
Breve exemplo numérico (para sentir a fórmula): se
, então
e
, portanto favoráveis
e total
, logo
. Verificando com pensamento direto: com 3 bolas e 3 caixas, “exatamente uma caixa vazia” significa que uma caixa tem 2 bolas e outra tem 1 bola — é relativamente comum, fazendo sentido o valor
.
Passo 5
Resolver (b): probabilidade condicional dada que a caixa
está vazia de que somente uma caixa esteja vazia.
- Condicionando em “caixa
vazia” o espaço amostral se reduz às distribuições em que nenhuma bola foi para a caixa . Cada bola agora tem opções (as caixas ), independentes, então o número de distribuições possíveis sob essa condição é
- Entre essas distribuições (com caixa
vazia), queremos que nenhuma das outras caixas fique vazia — ou seja, as bolas devem ocupar as caixas restantes, todas não vazias. Esse é exatamente o mesmo tipo de conta que fizemos no passo anterior para “todas não vazias” (com caixas): o número de distribuições em que as caixas recebem todas as bolas e nenhuma está vazia é (conforme contagem do Passo 3 sem multiplicar por para a caixa vazia):
(Justificação: escolher qual das
caixas terá as 2 bolas, escolher quais 2 bolas, e permutar o restante.)
3) A probabilidade condicional pedida é então
3) A probabilidade condicional pedida é então
Comentário didático: aqui o denominador
é o novo espaço amostral após saber que a caixa
está vazia; o numerador conta as distribuições em que, além da caixa
estar vazia, nenhuma outra caixa está vazia.
Passo 6
Resolver (c): probabilidade de que a caixa
seja a vazia dado que somente uma caixa está vazia. Duas maneiras de ver: por simetria ou por fórmula de Bayes (contagem). Vou mostrar ambas para fixar bem a ideia.
Método 1 — simetria: se sabe que exatamente uma caixa está vazia, todas as caixas são simétricas (rotuladas porém sem informação preferencial), logo a probabilidade de que a vazia seja a caixa
é
. Isso é intuitivo e correto.
Método 2 — contagem/Bayes (para ver que dá mesmo ):
Método 1 — simetria: se sabe que exatamente uma caixa está vazia, todas as
Método 2 — contagem/Bayes (para ver que dá mesmo
-
do Passo 3 é . -
é o número de distribuições onde caixa está vazia e nenhuma outra está vazia, dividido por . Esse número favorável já calculamos no Passo 5: . Então
- Aplicando a definição de probabilidade condicional:
Portanto confirmamos por contagem que o resultado é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)